Question

20．在等比数列{a_n}中，a₃=$\frac{3}{2}$，S₃=$\frac{9}{2}$．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记b_n=log₂$\frac{6}{{a}_{2n+1}}$，且{b_n}为递增数列，若C_n=$\frac{1}{{{b}_{n}b}_{n+1}}$，求证：C₁+C₂+C₃+…C_n＜$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）讨论q=1，q≠1，由等比数列的通项公式和求和公式，解方程即可得到q，和a₁，进而得到通项公式；
（Ⅱ）由对数的运算性质，求得b_n=2n，化C_n=$\frac{1}{{{b}_{n}b}_{n+1}}$=$\frac{1}{4n（n+1）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），再由数列的求和方法：裂项相消求和，预计不等式的性质，即可得证．

解答 解：（Ⅰ）∵a₃=$\frac{3}{2}$，S₃=$\frac{9}{2}$，
∴当q=1时，S₃=3a₁=$\frac{9}{2}$，满足条件，∴q=1．
当q≠1时，a1q2=$\frac{3}{2}$，$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{3}）}{1-q}$=$\frac{9}{2}$，
解得a₁=6，q=-$\frac{1}{2}$．
综上可得：a_n=$\frac{3}{2}$或a_n=6•（-$\frac{1}{2}$）^n-1；
（Ⅱ）证明：由题意可得b_n=log₂$\frac{6}{{a}_{2n+1}}$=log₂$\frac{6}{6•（-\frac{1}{2}）^{2n}}$=log₂2²ⁿ=2n，
则C_n=$\frac{1}{{{b}_{n}b}_{n+1}}$=$\frac{1}{4n（n+1）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
即有C₁+C₂+C₃+…C_n=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{4（n+1）}$＜$\frac{1}{4}$．
故原不等式成立．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、前n项和公式，考查了分类讨论方法、和不等式的证明，注意运用裂项相消求和和不等式的性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．