Question

在△ABC中，∠A=30°，D是边BC上任意一点（D与B，C不重合），且|

AB

|²=|

AD

|²+

BD

•

DC

，则∠B等于（　　）

A．30°

B．45°

C．60°

D．75°

Answer 1

分析：作 AO⊥BC，垂足为 O，以 BC 所在直线为 x 轴，以 OA 所在直线为 y 轴，建立直角坐标系．设 A（0，a），B（b，0），C （c，0），D（d，0）．由|

AB

|²=|

AD

|²+

BD

•

DC

能导出△ABC 为等腰三角形，AB=AC，BD=CD，再由∠A=30°，能求出∠B．

解答：解：作 AO⊥BC，垂足为 O，
以 BC 所在直线为 x 轴，以 OA 所在直线为 y 轴，建立直角坐标系．
设 A（0，a），B（b，0），C （c，0），D（d，0）．
∵|

AB

|²=|

AD

|²+

BD

•

DC

，
∴由距离公式可得 b²+a²=d²+a²+（d-b）（c-d），
即（b-d）（b+d）=（d-b）（d-c），
又b-d≠0，
两边除以b-d，
得 b+d=d-c，
即b=-c，
∴点B（b，0）和C（c，0）关于原点对称，
∴△ABC 为等腰三角形．
∴AB=AC，BD=CD，
∵∠A=30°，
∴∠B=90°-

1

2

×30°=75°．
故选D．

点评：本题考查三角形的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意距离公式的灵活运用．