Question

5．如图所示，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，E、F分别是正方形A₁B₁C₁D₁和ADD₁A₁的中心，求EF和CD所成的角．

Answer 1

分析 以D为原点，分别以DA、DC、DD₁为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出EF和CD所成的角．

解答 解：以D为原点，分别以DA、DC、DD₁为x轴、y轴、z轴，
建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，
则D（0，0，0），C（0，1，0），E（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，1$），F（$\frac{1}{2}，0，\frac{1}{2}$），
$\overrightarrow{EF}$=（0，-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{DC}$=（0，1，0），
∴cos＜$\overrightarrow{EF}$，$\overrightarrow{DC}$＞=$\frac{\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{DC}}{|\overrightarrow{EF}|•|\overrightarrow{DC}|}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴＜$\overrightarrow{EF}$，$\overrightarrow{DC}$＞=135°，
∴异面直线EF和CD所成的角是45°．

点评 本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．