已知二次函数h(x)=ax2+bx+c(其中c<3),其导函数的图象如图,f(x)=6lnx+h(x).
①求f(x)在x=3处的切线斜率;
②若f(x)在区间(m,m+)上是单调函数,求实数m的取值范围;
③若对任意k∈[-1,1],函数y=kx(x∈(0,6])的图象总在函数y=f(x)图象的上方,求c的取值范围.
①0; ②;③
【解析】
试题分析:①根据图像求出一次导函数的解析式,那么函数的导函数就很容易得到了,所求的切线斜率即是其所对应的的导函数值;②根据函数的单调性与导数的关系求出函数的三个单调区间,使得所给的区间在任何一个单调区间内即可求出未知数的取值范围;③由已知条件先导出和有关的不等式,将放在不等式的一边,那么就有的最小值也要大于等于不等式另一边式子的最大值,才能保证不等式恒成立,由函数的单调性和导数的关系求最值即可.
试题解析:①由已知得,其图像如图所示过点和,
则有,解得,所以,
所以,则即在处的切线斜率为0; 3分
②由已知得,
令,得,列表如下:
x |
(0,1) |
1 |
(1, 3) |
3 |
(3,+∞) |
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
|
..f(x) |
极大值 |
极小值 |
要使f(x)在上是单调函数,则区间必须完全含在任意一个单调区间内, 5分
所以有或或,
所以m的取值范围为:; 7分
③由题意知:对,恒成立,
即在恒成立,
即在恒成立, 8分
令,则,
因为,
令,则,
时,,则在上是单调递减的,
时,,则在上是单调递增的,
∴当时,,
又,,则,
所以,恒成立,则在上是单调递增的,
则, .12分
在恒成立,
∴,∴. 14分
考点:函数的单调性和导数的关系,恒成立问题的解法.
科目:高中数学 来源:必修一教案数学苏教版 苏教版 题型:044
求函数解析式:
(1)已知一次函数f(x)满足f(0)=5,图象过点(-2,1),求f(x);
(2)已知二次函数g(x)满足g(1)=1,g(-1)=5,图象过原点,求g(x);
(3)已知二次函数h(x)与x轴的两交点为(-2,0),(3,0),且h(0)=-3,求h(x);
(4)已知二次函数F(x),其图象的顶点是(-1,2),且经过原点,求F(x).
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科目:高中数学 来源:河北省三河一中2012届高三第二次月考数学理科试题 题型:044
已知二次函数h(x)=ax2+bx+c(其中c<3),其导函数y=(x)的图象如图,f(x)=6lnx+h(x).
(1)求函数f(x)在x=3处的切线斜率;
(2)若函数y=-x,x∈(0,6]的图像总在函数y=f(x)图象的上方,求c的取值范围.
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年四川达州普通高中高三第一次诊断检测理科数学试卷(解析版) 题型:解答题
已知二次函数h(x)=ax2+bx+c(其中c<3),其导函数的图象如图,f(x)=6lnx+h(x)
(1)求f(x)在x=3处的切线斜率;
(2)若f(x)在区间(m,m+)上是单调函数,求实数m的取值范围;
(3)若对任意k∈[-1,1],函数y=kx(x∈(0,6])的图象总在函数y=f(x)图象的上方,求c的取值范围
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科目:高中数学 来源:2013届浙江省高二下学期第一次统练理科数学试卷(解析版) 题型:解答题
已知二次函数h(x)=ax2+bx+c(c>0),其导函数y=h′(x)的图象如下,且f(x)=ln x-h(x).
(1)求函数f(x)在x=1处的切线斜率;
(2)若函数f(x)在上是单调函数,求实数m的取值范围;
(3)若函数y=2x-lnx(x∈[1,4])的图象总在函数y=f(x)的图象的上方,求c的取值范围.
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