分析 (1)将m=2代入函数的表达式,求出f(x)的导数,从而求出函数在区间上的最大值;
(2)由题意得到f(b)-b<f(a)-a,构造函数F(x)=f(x)-x在上单调递减,根据函数的单调性,从而求出m的范围;
(3)令g(x)=0,则得到m=$-\frac{1}{3}{x^3}+x$,问题转化为y=m和y=-$\frac{1}{3}$x3+x的交点个数问题,讨论m的范围即可得出结论.
解答 解:(1)由m=2得:$f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{x-2}{x^2}$,
所以f(x)在[1,2]递减,在[2,e]递增.
又f(1)=2,f(e)=$1+\frac{2}{e}$<2.所以f(x)的最大值为2;
(2)由题意得:f(b)-b<f(a)-a,
则构造函数F(x)=f(x)-x在上单调递减,
所以F′(x)≤0在(0,+∞)上恒成立,
解得m$≥\frac{1}{4}$;
(3)令g(x)=0,则得到m=$-\frac{1}{3}{x^3}+x$,(x>0),
问题转化为y=m和y=-$\frac{1}{3}$x3+x的交点个数问题,
由y=$-\frac{1}{3}{x^3}+x$,得:y′=-x2+1,
令y′>0,解得:0<x<1,令y′<0,解得:x>1,
∴函数在(1,+∞)递减,在(0,1)递增,
∴x=1时,y取得极大值,y极大值=$\frac{2}{3}$,
x→+∞时:y→-∞,x→0时,y→0,
∴函数y=-$\frac{1}{3}$x3+x的值域是(0,$\frac{2}{3}$],
∴m=$\frac{2}{3}$时,g(x)零点个数为1个;
0<m<$\frac{2}{3}$时,g(x)的零点个数为2个,
m<0时,零点个数为1个.
点评 本题考查了函数的单调性、函数的最值、零点问题,考查导数的应用,是一道中档题.
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A. | (-4,2) | B. | (-2,0) | C. | (-4,0) | D. | (0,2) |
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A. | 2 | B. | 2$\sqrt{2}$ | C. | 4 | D. | 8 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 20$\sqrt{6}$米 | B. | 20$\sqrt{3}$米 | C. | 20$\sqrt{2}$米 | D. | 20米 |
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