Question

7．设函数f（x）=lnx+$\frac{m}{x}$，m∈R．
（1）m=2时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值；
（2）若对任意b＞a＞0，$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$＜1恒成立，求实数m的取值范围．
（3）讨论函数g（x）=f'（x）-$\frac{x}{3}$零点的个数．

Answer 1

分析 （1）将m=2代入函数的表达式，求出f（x）的导数，从而求出函数在区间上的最大值；
（2）由题意得到f（b）-b＜f（a）-a，构造函数F（x）=f（x）-x在上单调递减，根据函数的单调性，从而求出m的范围；
（3）令g（x）=0，则得到m=$-\frac{1}{3}{x^3}+x$，问题转化为y=m和y=-$\frac{1}{3}$x³+x的交点个数问题，讨论m的范围即可得出结论．

解答 解：（1）由m=2得：$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{x-2}{x^2}$，
所以f（x）在[1，2]递减，在[2，e]递增．
又f（1）=2，f（e）=$1+\frac{2}{e}$＜2．所以f（x）的最大值为2；
（2）由题意得：f（b）-b＜f（a）-a，
则构造函数F（x）=f（x）-x在上单调递减，
所以F′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，
解得m$≥\frac{1}{4}$；
（3）令g（x）=0，则得到m=$-\frac{1}{3}{x^3}+x$，（x＞0），
问题转化为y=m和y=-$\frac{1}{3}$x³+x的交点个数问题，
由y=$-\frac{1}{3}{x^3}+x$，得：y′=-x²+1，
令y′＞0，解得：0＜x＜1，令y′＜0，解得：x＞1，
∴函数在（1，+∞）递减，在（0，1）递增，
∴x=1时，y取得极大值，y_极大值=$\frac{2}{3}$，
x→+∞时：y→-∞，x→0时，y→0，
∴函数y=-$\frac{1}{3}$x³+x的值域是（0，$\frac{2}{3}$]，
∴m=$\frac{2}{3}$时，g（x）零点个数为1个；
0＜m＜$\frac{2}{3}$时，g（x）的零点个数为2个，
m＜0时，零点个数为1个．

点评 本题考查了函数的单调性、函数的最值、零点问题，考查导数的应用，是一道中档题．