Question

已知函数f（x）=ax²-|x|+2a-1，（a为实常数）
（1）若a=1，将f（x）写出分段函数的形式，并画出简图，指出其单调递减区间；
（2）设f（x）在区间[1，2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式．

Answer 1

分析：（1）根据绝对值的含义，取绝对值符号写出函数的分段形式；
（2）根据二次函数的对称轴方程与区间位置，分类讨论求最小值g（a）的解析式．

解答：解：（1）a=1，f（x）=x²-|x|+1=

x2-x+1，(x≥0) x2+x+1，(x＜0)

f（x）的单调递减区间为(-∞，-

1

2

]和[0，

1

2

]；
（2）当a=0时，x∈[1，2]，f（x）=-x-1，在[1，2]上单调递减，
∴当x=2时，f_min（x）=-3
当a＞0时，x∈[1，2]，f(x)=ax2-x+2a-1=a(x-

1

2a

)2+2a-1-

1

4a

（ⅰ）当0＜

1

2a

＜1，即a＞

1

2

时，此时f（x）在[1，2]上单调递增，∴x=1时，f_min（x）=3a-2
（ⅱ）当1≤

1

2a

≤2，即

1

4

≤a≤

1

2

时，当x=

1

2a

时，fmin(x)=2a-1-

1

4a

（ⅲ）当

1

2a

＞2，即0＜a＜

1

4

时，此时f（x）在[1，2]上单调递减，∴x=2时f_min（x）=6a-3
当a＜0时，x∈[1，2]，f(x)=ax2-x+2a-1=a(x-

1

2a

)2+2a-1-

1

4a

，此时f（x）在[1，2]上单调递减，∴x=2时f_min（x）=6a-3
综上：g(a)=

3a-2，a＞ 1 2 2a-1- 1 4a ， 1 4 ≤a≤ 1 2 6a-3，a＜ 1 4

点评：本题主要考查分段函数的概念，绝对值的概念，二次函数的图象和性质．分段函数求单调区间和最值问题．从解法看，思路比较明确，但操作上易于出错．
（2）涉及求闭区间上二次函数的最值问题，注意讨论对称轴与区间的相对位置，确定得到最值的不同表达式．