Question

下列不等式对任意的x恒成立的是（　　）

A．x-x²≥0

B．e^x≥ex

C．lnx＞x

D．sinx＞-x+1

Answer 1

分析：由x-x²≥0，解得0≤x≤1，故A不正确；令f（x）=e^x-ex，则f′（x）=e^x-e，f''（x）=e^x＞0，由f′（x）=e^x-e，得x=1，由x=1处为f（x）的极小值点，知e^x≥ex，故B成立．由lnx＞x和sinx＞-x+1都不恒成立，知C和D都不正确．

解答：解：∵x-x²≥0，∴x²-x≤0，
解得0≤x≤1，
∴A不正确；
令f（x）=e^x-ex，则f′（x）=e^x-e，
由f′（x）=e^x-e=0，得x=1，令导数为正可得x＞1，令导数为负可得x＜1
∴x=1处为f（x）的极小值点，
∴f（x）≥f（1）=0，∴e^x≥ex对任意实数恒成立，故B成立．
∵由ln1=0＜1，知lnx＞x不恒成立，
∴C不正确．
∵由sin0＜-0+1，知sinx＞-x+1不恒成立，
∴D不正确．
故选B．

点评：本题考查函数的恒成立问题，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数的性质和应用．