Question

11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tanA，tanC是关于x的方程x²-p（x-1）+1=0的两个实根，若b=2，则△ABC面积的最大值为1．

Answer 1

分析 由一元二次方程根与系数的关系可得tanAtanC=1，则有A+C=$\frac{π}{2}$．由此可知△ABC为以角B为直角的直角三角形，由勾股定理结合不等式的性质求得ac的最大值，则△ABC面积的最大值可求．

解答 解：∵tanA，tanC是关于x的方程x²-（p-1）x+1=0的两个实根，
∴tanAtanC=1，则A+C=$\frac{π}{2}$．
∴B=$\frac{π}{2}$．
又b=2，
∴4=b²=a²+c²≥2ac，
当且仅当a=c时取等号．
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}ac≤1$．
故答案为：1．

点评 本题考查一元二次方程根与系数的关系，考查了同角三角函数基本关系式的应用，考查三角形面积的求法，是中档题．