Question

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦点F，直线x=

a2

c

与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（　　）

• A、(0，

  2

  2

  ]
• B、(0，

  1

  2

  ]
• C、[

  2

  -1，1)
• D、[

  1

  2

  ，1)

Answer 1

分析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等，根据|PF|的范围求得|FA|的范围，进而求得

c

a

的范围即离心率e的范围．

解答：解：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等
而|FA|=

a2

c

-c=

b2

c

|PF|∈[a-c，a+c]
于是

b2

c

∈[a-c，a+c]
即ac-c²≤b²≤ac+c²
∴

ac-c2≤a2-c2 a2-c2≤ac+c2

c a ≤1 c a ≤-1或 c a ≥ 1 2

又e∈（0，1）
故e∈[

1

2

，1]．
故选D．

点评：本题主要考查椭圆的基本性质，注意在解不等式过程中将

c

a

看作整体，属基础题．