Question

（2013•杨浦区一模）已知函数f（x）=

.

x 1 x -2 1

.

（x＞0）的值域为集合A，
（1）若全集U=R，求C_UA；
（2）对任意x∈（0，

1

2

]，不等式f（x）+a≥0恒成立，求实数a的范围；
（3）设P是函数f（x）的图象上任意一点，过点P分别向直线y=x和y轴作垂线，垂足分别为A、B，求

PA

•

PB

的值．

Answer 1

分析：（1）根据二阶矩阵运算的法则化得f（x）的解析式，再利用基本不等式得集合A，由补集的含义即可写出答案；
（2）由题得a≥-（x+

2

x

），只须求出a大于等于函数y=-（x+

2

x

）在（0，

1

2

]的最大值，再利用函数的单调性得出函数y=-（x+

2

x

）在（0，

1

2

]的最大值，即可实数a的范围；
（3）先设P（x₀，x₀+

2

x0

），写出直线PA的方程，再与直线y=x的方程联立，得A点的坐标，最后利用向量数量积的坐标运算计算即得答案．

解答：解：（1）由已知得，x＞0，则f（x）=x+

2

x

≥2

2

                       …（1分）
当且仅当x=

2

x

时，即x=

2

等号成立，
∴A=[2

2

，+∞）                                       …（3分）
所以，C_UA=（-∞，2

2

）                                …（4分）
（2）由题得 a≥-（x+

2

x

）                                      …（5分）
函数y=-（x+

2

x

）在（0，

1

2

]的最大值为-

9

2

                       …（9分）
∴a≥-

9

2

                                                      …（10分）
（3）设P（x₀，x₀+

2

x0

），则直线PA的方程为
y-（x₀+

2

x0

）=-（x-x₀），
即y=-x+2x₀+

2

x0

…（11分）
由

y=x y=-x+2x0+ 2 x0

  得A（x₀+

2

x0

，2x₀+

1

x0

）                         …（13分）
又B（0，x₀+

2

x0

），…（14分）
所以

PA

=（

1

x0

，-

1

x0

），

PB

=（-x，0），
故 

PA

•

PB

=

1

x0

（-x₀）=-1     …（16分）

点评：本题考查二阶矩阵、补集的含义、平面向量数量积的运算等，考查运算能力，属于基础题．