Question

4．设抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，过F且斜率为k的直线l交抛物线C于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，且y₁y₂=-4．
（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；
（Ⅱ）已知点P（-1，k），且△PAB的面积为6$\sqrt{3}$，求k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设直线AB的方程为y=k（x-$\frac{p}{2}$），代入抛物线，消x，利用y₁y₂=-4，求出p，即可求抛物线C的标准方程；
（Ⅱ）求出P到直线AB的距离，|AB|，利用S_△PAB=$\frac{1}{2}•|AB|•d$，△PAB的面积为6$\sqrt{3}$，求k的值．

解答 解：（Ⅰ）F（$\frac{p}{2}$，0），设直线AB的方程为y=k（x-$\frac{p}{2}$），…（2分）
代入抛物线，消x，得：ky²-2py-kp²=0，…（4分）
∴y₁y₂=-p²=-4，从而p=2，
∴抛物线C的方程为y²=4x．  …（6分）
（Ⅱ）由已知，F（1，0），直线AB的方程为y=k（x-1），
代入抛物线方程，消x，得ky²-4y-4k=0，
∴y₁+y₂=$\frac{4}{k}$，y₁y₂=-4，…（8分）
∴|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$•$\sqrt{\frac{16}{{k}^{2}}-4×（-4）}$=4（1+$\frac{1}{{k}^{2}}$）．
又∵P到直线AB的距离d=$\frac{3|k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$．…（10分）
故△PAB的面积S=$\frac{1}{2}•|AB|•d$=6$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$=6．…（12分）
故得k=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$．…（14分）

点评 本题考查抛物线方程，直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算，属于中档题．