Question

18．已知函数f（x）=x+$\frac{m}{x}$+2（m为实常数）．
（1）若函数f（x）图象上动点P到定点Q（0，2）的距离的最小值为$\sqrt{2}$，求实数m的值；
（2）设m＜0，若不等式f（x）≤kx在x∈[$\frac{1}{2}$，1]时有解，求k的范围．

Answer 1

分析 （1）设P（x，y），运用两点的距离公式，结合基本不等式可得最小值，讨论m的符号，即可得到所求m的值；
（2）由题意可得k≥$\frac{m}{{x}^{2}}$+$\frac{2}{x}$+1，令t=$\frac{1}{x}$，t∈[1，2]，可得k≥mt²+2t+1，令g（t）=mt²+2t+1，t∈[1，2]，要使原不等式在x∈[$\frac{1}{2}$，1]时有解，当且仅当k≥g（t）_min，讨论g（1），g（2）的大小，即有m的范围，结合二次函数的最值求法，可得k的范围．

解答 解：（1）设P（x，y），则y=x+$\frac{m}{x}$+2，
|PQ|²=x²+（y-2）²=2x²+$\frac{{m}^{2}}{{x}^{2}}$+2m≥2$\sqrt{2{x}^{2}•\frac{{m}^{2}}{{x}^{2}}}$+2m=2$\sqrt{2}$|m|+2m=2，
当m＞0时，解得m=$\sqrt{2}$-1；当m＜0时，解得m=-$\sqrt{2}$-1；
（2）f（x）≤kx，即为x+$\frac{m}{x}$+2≤kx，
由x∈[$\frac{1}{2}$，1]，可得k≥$\frac{m}{{x}^{2}}$+$\frac{2}{x}$+1，
令t=$\frac{1}{x}$，t∈[1，2]，可得k≥mt²+2t+1，
令g（t）=mt²+2t+1，t∈[1，2]，
要使原不等式在x∈[$\frac{1}{2}$，1]时有解，当且仅当k≥g（t）_min，
由m＜0，g（t）=m（t+$\frac{1}{m}$）²+1-$\frac{1}{m}$开口向下，t∈[1，2]，
当0＜-$\frac{1}{m}$≤$\frac{3}{2}$时，即m≤-$\frac{2}{3}$，g（1）≥g（2），
可得g（t）_min=g（2）=4m+5；
当-$\frac{1}{m}$＞$\frac{3}{2}$时，即-$\frac{2}{3}$＜m＜0，可得g（1）＜g（2），
可得g（t）_min=g（1）=m+3．
综上可得，m≤-$\frac{2}{3}$时，k的范围是[4m+5，+∞）；
当-$\frac{2}{3}$＜m＜0时，k的范围是[m+3，+∞）．

点评 本题考查基本不等式的运用：求最值，同时考查不等式存在性问题的解法，注意运用换元法和二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．