Question

四棱锥S-ABCD的各棱长都相等，E是侧棱SA的中点，则BE与底面ABCD所成角的正弦值是

 

．

Answer 1

分析：过S作SO⊥平面ABCD，由四棱锥S-ABCD的各棱长都相等，可得底面ABCD为正方形，建立空间直角坐标系求出平面ABCD的法向量和BE的坐标表示，利用向量数量积公式求BE与底面ABCD所成角的正弦值．

解答：解：过S作SO⊥平面ABCD，∵四棱锥S-ABCD的各棱长都相等，
∴底面ABCD为菱形，又OA=OB=OC=OD，∴底面ABCD为正方形，
设棱长为1，建立空间直角坐标系如图：

则S（0，0，

2

2

），O（0，0，0），B（0，

2

2

，0），A（

2

2

，0，0），E（

2

4

，0，

2

4

），

BE

=（

2

4

，-

2

2

，

2

4

），

OS

=（0，0，

2

2

），
∵

OS

为平面ABCD的法向量，cos＜

BE

，

OS

＞=

1 4

2 2 × 3 2

=

6

6

，
∴BE与底面ABCD所成角的正弦值是

6

6

．
故答案是

6

6

．

点评：本题采用了向量坐标运算求线面角，解答的关键是建立空间直角坐标系，求得平面的法向量与直线的方向向量．