Question

【题目】已知函数f（x）=﹣x2+ax+b，且f（4）=﹣3．
（1）若函数f（x）在区间[2，+∞）上递减，求实数b的取值范围；
（2）若函数f（x）的图象关于直线x=1对称，且关于x的方程f（x）=log2m在区间[﹣3，3]上有解，求m的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数f（x）在区间[2，+∞）上递减，∴ ，解得a≤4，

又f（4）=﹣3，∴b=﹣4a+13，

∵a≤4，∴b≥﹣3

（2）解：∵ 解得

∴f（x）=﹣x2+2x+5=﹣（x﹣1）2+6，x∈[﹣3，3]，

∴f（x）min=f（﹣3）=﹣10，f（x）max=f（1）=6，

∴f（x）在[﹣3，3]上的值域为[﹣10，6]，

∴log2m∈[﹣10，6]，即m∈[2﹣10，26]，

∴m的最大值为26=64

【解析】（1）利用函数值以及对称轴与单调区间的关系，列出不等式求解即可．（2）利用对称轴以及函数值，求出a，b，利用二次函数的闭区间上的最值，求解即可．
【考点精析】掌握二次函数的性质是解答本题的根本，需要知道当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减．