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    （2011•松江区二模）我们把一系列向量
    ai
    （i=1，2，…，n）按次序排成一列，称之为向量列，记作{
    ai
    }．已知向量列{
    ai
    }满足：
    a1
    ，
    an
    =
    1
    2
    (xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)    （n≥2）．
    （1）证明数列{|
    ai
    |}是等比数列；
    （2）设θn表示向量
    an-1
    ，
    an
    间的夹角，若bn=2nθn-1，Sn=b1+b2+…+bn，求Sn；
    （3）设|
    an
    |•log2|
    an
    |，问数列{cn}中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）由|
    an
    |=
    1
    2
    		(xn-1-yn-1)2+(xn-1+yn-1)2
    =
    		2
    2
    x
    2
    n-1
    +
    y
    2
    n-1
    =
    		2
    2
    |    |
    an-1
    |，知数列{
    ai
    }是等比数列．
    （2）由cosθn=
    an-1
    •
    an
    |
    an-1
    |•|
    an
    |
    =
    1
    2
    (
    x
    2
    n-1
    +
    y
    2
    n-1
    )
    		2
    2
    (
    x
    2
    n-1
    +
    y
    2
    n-1
    )
    =
    		2
    2
    ，知bn=
    nπ
    2
    -1    ，由此能求出求Sn．
    （3）由|
    an
    |=
    		2
    (
    		2
    2
    )n-1=2
    2-n
    2
    ，知cn=
    2-n
    2
    •2
    2-n
    2
    ．假设{cn}中的第n项最小，由c1=
    		2
    2
    ，c2=0，能够推导出数列{cn}中存在最小项，最小项是c5=-
    3
    2
    •2-
    3
    2
    ．
    解答：解：（1）|
    an
    |=
    1
    2
    		(xn-1-yn-1)2+(xn-1+yn-1)2
    …（1分）
    =
    		2
    2
    x
    2
    n-1
    +
    y
    2
    n-1
    =
    		2
    2
    |    |
    an-1
    |，∴数列{
    ai
    }是等比数列…（3分）
    （2）∵cosθn=
    an-1
    •
    an
    |
    an-1
    |•|
    an
    |
    =
    1
    2
    (
    x
    2
    n-1
    +
    y
    2
    n-1
    )
    		2
    2
    (
    x
    2
    n-1
    +
    y
    2
    n-1
    )
    =
    		2
    2
    …（5分）
    ∴θn=
    π
    4
    ，∴bn=
    nπ
    2
    -1    …（7分）
    ∴Sn=(
    1
    2
    π-1)+(
    2
    2
    π-1)+…+(
    n
    2
    π-1)=
    π
    4
    (n2+n)-n    …（8分）
    （3）∵|
    an
    |=
    		2
    (
    		2
    2
    )n-1=2
    2-n
    2
    ∴cn=
    2-n
    2
    •2
    2-n
    2
    …（10分）
    假设{cn}中的第n项最小，由c1=
    		2
    2
    ，c2=0，∴0≤c2＜c1…（11分）
    当n≥3时，有cn＜0，由cn≤cn+1
    得  
    2-n
    2
    •2
    2-n
    2
    ≤
    2-(n+1)
    2
    •2
    2-(n+1)
    2

    即
    2-n
    1-n
    ≥2-
    1
    2
    ，(
    2-n
    1-n
    )2≥
    1
    2
    n2-6n+7≥0，n≥3+
    		2
    或n≤3-
    		2
    （舍），
    ∴n≥5
    即有c5＜c6＜c7＜…；                                   …（13分）
    由cn≥cn+1，得3≤n≤5，又0≤c2＜c1，∴c5＜c4＜…＜c1；…（15分）
    故数列{cn}中存在最小项，最小项是c5=-
    3
    2
    •2-
    3
    2
    ．…（16分）
    点评：本题考查数列和向量的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．
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    1
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    4
    3
    4
    3
    ．

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    x2
    9
    +
    y2
    4
    =1    间的距离为
    3
    		5
    10
    3
    		5
    10
    ．

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