Question

【题目】设函数，其中为实数.

（1）已知函数是奇函数，直线是曲线的切线，且， ，求直线的方程；

（2）讨论的单调性.

Answer 1

【答案】(1) 6x+3y﹣1=0或2x+y+5=0 (2)见解析

【解析】试题分析：（1）根据函数g（x）=f（x）﹣f′（x）是奇函数可求出a的值，然后根据l1⊥l2可求出l1的斜率，从而可求出切点坐标，求出切线方程；

（2）先求函数f（x）的导函数f′（x），再解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0即可得函数的单调区间，本题需讨论a与﹣和0的大小关系．

试题解析：

解：（1）∵，

∴f′（x）=ax2﹣x﹣（a+1）

则g（x）=f（x）﹣f′（x）=﹣ax2+x+（a+1）=

∵函数g（x）=f（x）﹣f′（x）是奇函数∴+a=0即a=﹣则f′（x）=﹣x2﹣x﹣

∵l1⊥l2，l2：x﹣2y﹣8=0

∴l1的斜率为﹣2，即f′（x）=﹣x2﹣x﹣=﹣2解得x=1或﹣3

即切点为（1，﹣）或（﹣3，1）

∴直线l1的方程为6x+3y﹣1=0或2x+y+5=0

（2）f′（x）=ax2﹣x﹣（a+1）=（ax﹣a﹣1）（x+1）

当a=0时，f′（x）=﹣x﹣1，当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）＞0，当x∈（﹣1，+∞）时，f′（x）＜0

∴函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1），单调递减区间为（﹣1，+∞）

当a＞0时，当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）＞0，当x∈（﹣1，1+）时，f′（x）＜0，当x∈（1+，+∞）时，f′（x）＞0

∴函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1），（1+，+∞）单调递减区间为（﹣1，1+）

当﹣＜a＜0时，当x∈（﹣∞，1+）时，f′（x）＜0，当x∈（1+，﹣1）时，f′（x）＞0，当x∈（﹣1，+∞）时，f′（x）＜0

∴函数f（x）的单调增区间为（1+，﹣1）单调递减区间为（﹣∞，1+），（﹣1，+∞）

当a=﹣时，f′（x）≤0恒成立，即函数单调递减区间为（﹣∞，+∞）

当a＜﹣时，当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）＜0，当x∈（﹣1，1+）时，f′（x）＞0，当x∈（1+，+∞）时，f′（x）＜0

∴函数f（x）的单调增区间为（﹣1，1+）单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（1+，+∞）