Question

如图，某兴趣小组测得菱形养殖区ABCD的固定投食点A到两条平行河岸线l₁、l₂的距离分别为4米、8米，河岸线l₁与该养殖区的最近点D的距离为1米，l₂与该养殖区的最近点B的距离为2米．
（1）如图甲，养殖区在投食点A的右侧，若该小组测得∠BAD=60°，请据此算出养殖区的面积S，并求出直线AD与直线l₁所成角的正切值；
（2）如图乙，养殖区在投食点A的两侧，试求养殖区面积S的最小值，并求出取得最小值时∠BAD的余弦值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,正弦定理,三角函数的最值

专题：计算题,应用题,函数的性质及应用,导数的综合应用,解三角形,空间位置关系与距离

分析：（1）设AD与l₁所成夹角为α，则AB与l₂所成夹角为60°-α，从而得

3

sinα

=

6

sin(60°-α)

，从而求面积及正切值；
（2）设AD与l₁所成夹角为α，∠BAD=θ∈（120°，180°），则AB与l₂所成夹角为（180°-θ+α），从而得

3

sinα

=

6

sin(180°-θ+α)

，从而求S=（

3

sinα

）²sinθ=9（

5+4cosθ

sinθ

），求导求最值．

解答： 解：（1）设AD与l₁所成夹角为α，则AB与l₂所成夹角为60°-α，
对菱形ABCD的边长“算两次”得

3

sinα

=

6

sin(60°-α)

，解得tanα=

3

5

，
所以，养殖区的面积S=（

3

sinα

）²sin60°=42

3

（m²）；
（2）设AD与l₁所成夹角为α，∠BAD=θ∈（120°，180°）；
则AB与l₂所成夹角为（180°-θ+α），
对菱形ABCD的边长“算两次”得

3

sinα

=

6

sin(180°-θ+α)

，
解得，tanα=

sinθ

2+cosθ

；
所以，养殖区的面积S=（

3

sinα

）²sinθ=9（

5+4cosθ

sinθ

），
由S′=-9（

5cosθ+4

sin2θ

）=0得，
cosθ=-

4

5

；
经检验得，当cosθ=-

4

5

时，养殖区的面积有最小值，
最小值为S=27（m²）；
答：（1）养殖区的面积为42

3

m²；（2）养殖区的最小面积为27m²．

点评：本题考查了解三角形，三角变换，导数等在实际问题中的应用，属于中档题．