分析 (1)在所给的等式中,令x=1,求得n=10,按照二项式定理分别展开(2-x)n 和(2+x)n ,相加并令x=1,可得二项(2-x)n展开式中奇数项系数之和.
(2)令x=0,可得n=8,再利用二项展开式的通项公式,求得(1+2x)n展开式中系数最大项.
解答 解:(1)∵(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn.
令x=1,可得a0+a1+a2+…+an=2+22+23+…+2n=$\frac{2(1{-2}^{n})}{1-2}$=2n+1-2=2046,∴n=10,
故(2-x)n =${C}_{10}^{0}$•210+${C}_{10}^{1}$•29(-x)+${C}_{10}^{2}$•28•(-x)2+…+${C}_{10}^{10}$•(-x)10=${C}_{10}^{0}$•210-${C}_{10}^{1}$•29•x+${C}_{10}^{2}$•28•x2-${C}_{10}^{3}$•27•x3+…+${C}_{10}^{10}$•x10,
即(2-x)n =${C}_{10}^{0}$•210-${C}_{10}^{1}$•29•x+${C}_{10}^{2}$•28•x2-${C}_{10}^{3}$•27•x3+…+${C}_{10}^{10}$•x10 ①,
∴(2+x)n =${C}_{10}^{0}$•210+${C}_{10}^{1}$•29•x+${C}_{10}^{2}$•28•x2+${C}_{10}^{3}$•27•x3+…+${C}_{10}^{10}$•x10 ②,
把①②相加可得(2-x)n +(2+x)n=2[${C}_{10}^{0}$•210+${C}_{10}^{2}$•28•x2+…+${C}_{10}^{10}$•x10],
再令x=1,可得二项(2-x)n展开式中奇数项系数之和为 ${C}_{10}^{0}$•210+${C}_{10}^{2}$•28+…+${C}_{10}^{10}$•20=$\frac{1{+3}^{n}}{2}$.
(2)在所给的等式中,令x=0,可得a0=n,若a0=8,则n=8,
故二项(1+2x)n =(1+2x)8,它的展开式的通项公式为Tr+1=${C}_{8}^{r}$•2r•xr,r=0,1,2,3,4,5,6,7,8,
检验可得,当r=5或 6时,该项的系数${C}_{8}^{r}$•2r最大为1792,
故二项(1+2x)n展开式中系数最大项为 T6=1792x5,或 T7=1792 x6.
点评 本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于中档题.
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A. | $\frac{3}{8}$ | B. | $\frac{1}{2}$ | C. | $\frac{5}{8}$ | D. | $\frac{7}{8}$ |
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A. | 0.604 | B. | 0.698 | C. | 0.151 | D. | 0.302 |
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