Question

19．已知：（1+x）+（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ．
（1）若a₀+a₁+a₂+…+a_n=2046，求二项（2-x）ⁿ展开式中奇数项系数之和；
（2）若a₀=8，求二项（1+2x）ⁿ展开式中系数最大项．

Answer 1

分析 （1）在所给的等式中，令x=1，求得n=10，按照二项式定理分别展开（2-x）ⁿ 和（2+x）ⁿ ，相加并令x=1，可得二项（2-x）ⁿ展开式中奇数项系数之和．
（2）令x=0，可得n=8，再利用二项展开式的通项公式，求得（1+2x）ⁿ展开式中系数最大项．

解答 解：（1）∵（1+x）+（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ．
令x=1，可得a₀+a₁+a₂+…+a_n=2+2²+2³+…+2ⁿ=$\frac{2（1{-2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ⁺¹-2=2046，∴n=10，
故（2-x）ⁿ =${C}_{10}^{0}$•2¹⁰+${C}_{10}^{1}$•2⁹（-x）+${C}_{10}^{2}$•2⁸•（-x）²+…+${C}_{10}^{10}$•（-x）¹⁰=${C}_{10}^{0}$•2¹⁰-${C}_{10}^{1}$•2⁹•x+${C}_{10}^{2}$•2⁸•x²-${C}_{10}^{3}$•2⁷•x³+…+${C}_{10}^{10}$•x¹⁰，
即（2-x）ⁿ =${C}_{10}^{0}$•2¹⁰-${C}_{10}^{1}$•2⁹•x+${C}_{10}^{2}$•2⁸•x²-${C}_{10}^{3}$•2⁷•x³+…+${C}_{10}^{10}$•x¹⁰ ①，
∴（2+x）ⁿ =${C}_{10}^{0}$•2¹⁰+${C}_{10}^{1}$•2⁹•x+${C}_{10}^{2}$•2⁸•x²+${C}_{10}^{3}$•2⁷•x³+…+${C}_{10}^{10}$•x¹⁰  ②，
把①②相加可得（2-x）ⁿ +（2+x）ⁿ=2[${C}_{10}^{0}$•2¹⁰+${C}_{10}^{2}$•2⁸•x²+…+${C}_{10}^{10}$•x¹⁰]，
再令x=1，可得二项（2-x）ⁿ展开式中奇数项系数之和为  ${C}_{10}^{0}$•2¹⁰+${C}_{10}^{2}$•2⁸+…+${C}_{10}^{10}$•2⁰=$\frac{1{+3}^{n}}{2}$．
（2）在所给的等式中，令x=0，可得a₀=n，若a₀=8，则n=8，
故二项（1+2x）ⁿ =（1+2x）⁸，它的展开式的通项公式为T_r+1=${C}_{8}^{r}$•2^r•x^r，r=0，1，2，3，4，5，6，7，8，
检验可得，当r=5或 6时，该项的系数${C}_{8}^{r}$•2^r最大为1792，
故二项（1+2x）ⁿ展开式中系数最大项为 T₆=1792x⁵，或 T₇=1792 x⁶．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．