分析:(1)由S
n+1(S
n+1-2S
n)+(2S
n-S
n-1)S
n-1=1化简可得数列{a
n2}是首项为1,公差为1的等差数列,求出通项公式开方可得数列{a
n}的通项公式;
(2)根据b
n的通项公式得到b
n+1的通项,然后相减得
-=,移项化简可得b
n+1;
(3)当n=1时,不等式成立;当n≥2时,列举b
n各项化简不等式的左边,然后当k≥2时,利用
≥(-)即可得证.
解答:解:(1)由S
n+1(S
n+1-2S
n)+(2S
n-S
n-1)S
n-1=1
得(S
n+1-S
n)
2-(S
n-S
n-1)
2=1,即a
n+12-a
n2=1(n≥2,n∈N
*)
∴数列{a
n2}是首项为1,公差为1的等差数列
于是
=n,∴
an=(n∈N*)(2)当n≥2时,∵
=1++++∴
=1+++++.
∴
-=∴
bn+1=(n≥2,n∈N*)(3)当n=1时,
1+=2>-=,不等式成立;
当n≥2时,由(1)得
=∴
(1+)(1+)(1+)=2•=2(1++++)又当k≥2时,
≥(-)∴
n |
|
k=1 |
≥1+(1++---)=->-=-于是当n≥2时,
(1+)(1+)(1+)>-综上所述,对一切n∈N
*,不等式都成立.
点评:考查学生灵活运用数列解决实际问题的能力,以及会求等差、等比数列的通项公式及前n项和的公式.会利用数列进行不等式的证明.