(本小题满分12分) 如图,已知椭圆的上顶点为,右焦点为,直线与圆相切.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若不过点的动直线与椭圆相交于、两点,
且求证:直线过定点,并求出该定点的坐标.
解: (Ⅰ)将圆的一般方程化为标准方程 ,
圆的圆心为,半径. --------------------1分
由,得直线,即,------------2分
由直线与圆相切,得, 或(舍去). ----------3分
当时, , 故椭圆的方程为-------------------4分
(Ⅱ)(解法一)由知,从而直线与坐标轴不垂直, -------5分
由可设直线的方程为,直线的方程为. --6分
将代入椭圆的方程并整理得: ,
解得或,因此的坐标为,
即
将上式中的换成,得.
直线的方程为------------------10分
化简得直线的方程为,------------------11分
因此直线过定点.------------------12分
(解法二)若直线存在斜率,则可设直线的方程为:,代入椭圆的方程并整理得: , -------5分
由与椭圆相交于、两点,则是上述关于的方程两个不相等的实数解,从而
------6分
由得
,
整理得: 由知.
此时, 因此直线过定点. 10分
若直线不存在斜率,则可设直线的方程为:,
将代入椭圆的方程并整理得: ,
当时, ,直线与椭圆不相交于两点,这与直线与椭圆相交于、两点产生矛盾!
当时, 直线与椭圆相交于、两点,是关于的方程的两个不相等实数解,从而
但,这与产生矛盾!
因此直线过定点.-------12分
科目:高中数学 来源: 题型:
ON |
ON |
5 |
OM |
OT |
M1M |
N1N |
OP |
OA |
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科目:高中数学 来源: 题型:
(2009湖南卷文)(本小题满分12分)
为拉动经济增长,某市决定新建一批重点工程,分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类,这三类工程所含项目的个数分别占总数的、、.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设.求:
(I)他们选择的项目所属类别互不相同的概率; w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(II)至少有1人选择的项目属于民生工程的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
(本小题满分12分)
某民营企业生产A,B两种产品,根据市场调查和预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图1,B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图2,
(注:利润与投资单位是万元)
(1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资的函数,并写出它们的函数关系式.(2)该企业已筹集到10万元资金,并全部投入到A,B两种产品的生产,问:怎样分配这10万元投资,才能使企业获得最大利润,其最大利润为多少万元.
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