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 (本小题满分12分) 如图,已知椭圆的上顶点为,右焦点为,直线与圆相切.

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)若不过点的动直线与椭圆相交于两点,

求证:直线过定点,并求出该定点的坐标.

解: (Ⅰ)将圆的一般方程化为标准方程

的圆心为,半径. --------------------1分

,得直线,即,------------2分

由直线与圆相切,得, (舍去). ----------3分

时, ,  故椭圆的方程为-------------------4分

(Ⅱ)(解法一)由,从而直线与坐标轴不垂直, -------5分

可设直线的方程为,直线的方程为. --6分

代入椭圆的方程并整理得: ,

解得,因此的坐标为,

将上式中的换成,得.

直线的方程为------------------10分

化简得直线的方程为,------------------11分

因此直线过定点.------------------12分

(解法二)若直线存在斜率,则可设直线的方程为:,代入椭圆的方程并整理得: ,   -------5分

与椭圆相交于两点,则是上述关于的方程两个不相等的实数解,从而

   ------6分

整理得: .

此时, 因此直线过定点.      10分

若直线不存在斜率,则可设直线的方程为:

代入椭圆的方程并整理得: ,

时, ,直线与椭圆不相交于两点,这与直线与椭圆相交于两点产生矛盾!

时, 直线与椭圆相交于两点,是关于的方程的两个不相等实数解,从而

,这与产生矛盾!

因此直线过定点.-------12分

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3
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ON
|=6,
ON
=
5
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.过点M作MM1丄y轴于M1,过N作NN1⊥x轴于点N1
OT
=
M1M
+
N1N
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=3
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