分析 (1)求出f(x)的导数,可得切线的斜率,由切线的方程可得f(1)=5,f′(1)=3,解方程可得a,b,进而得到f(x)的解析式;
(2)对x讨论,当x>0,x<0时,运用基本不等式可得最值,进而得到f(x)的取值范围.
解答 解:(1)函数f(x)=ax+$\frac{b}{x}$的导数为f′(x)=a-$\frac{b}{{x}^{2}}$,
可得曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为a-b,
由切线方程3x-y+2=0,可得a-b=3,a+b=5,
解得a=4,b=1,
可得f(x)=4x+$\frac{1}{x}$;
(2)当x>0时,4x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{4x•\frac{1}{x}}$=4,
当且仅当x=$\frac{1}{2}$取得最小值4;
当x<0时,4x+$\frac{1}{x}$=-[(-4x)+(-$\frac{1}{x}$)≤-2$\sqrt{(-4x)•(-\frac{1}{x})}$=-4,
当且仅当x=-$\frac{1}{2}$取得最大值-4.
综上可得,f(x)的取值范围是(-∞,-4]∪[4,+∞).
点评 本题考查导数的运用:求切线的斜率,考查导数的几何意义,同时考查基本不等式的运用:求最值和范围,考查运算能力,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 1 | B. | ±1 | C. | 2 | D. | ±2 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 若a>b,则ac2>bc2 | B. | 若a>b,则a2>b2 | ||
C. | 若a>b,c>d,则ac>bd | D. | 若a>b,c<d,则a-c>b-d |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 等腰三角形 | B. | 直角三角形 | C. | 等腰直角三角形 | D. | 等边三角形 |
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