Question

【题目】已知二次函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）设函数，记为函数极大值点，求证： .

Answer 1

【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.

【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，通过讨论 的范围，求出函数的单调区间即可；

（2）由题

则，此时，讨论的单调性可得， 在处取得极大值，则一定有个零点，分别是的极大值点和极小值点.

设是函数的一个极大值点，则

所以， ，由所以，

此时可证明.

试题解析：（1）

当时， 在上恒正；

所以， 在上单调递增

当时，由得，

所以当时， 单调递减

当时， 单调递增.

综上所述，

当时， 在上单调递增；

当时，

当时， 单调递减；

当时， 单调递增.

（2）

则

令的

当时， 为增函数；

当时， 为减函数；

所以， 在处取得极大值，

一定有个零点，分别是的极大值点和极小值点.

设是函数的一个极大值点，则

所以，

又

所以，

此时

所以.