Question

（本题满分16分） 已知椭圆：的离心率为，分别为椭圆的左、右焦点，若椭圆的焦距为2．
⑴求椭圆的方程；
⑵设为椭圆上任意一点，以为圆心，为半径作圆，当圆与椭圆的右准线有公共点时，求△面积的最大值．

Answer 1

⑴．⑵ ．

(1)由离心率和b值，不难求出a,从而方程易求。
(2)在（1）的基础上，可知由于圆与有公共点，所以到 的距离小于或等于圆的半径．因为，所以，
即 ．然后再借助椭圆方程，消y₀转化为求解即可。
解：⑴因为，且，所以．……………………………………2分
所以．………………………………………………………………………………4分
所以椭圆的方程为．……………………………………………………6分
⑵设点的坐标为，则．
因为，，所以直线的方程为．………………………………8分
由于圆与有公共点，所以到 的距离小于或等于圆的半径．
因为，所以，………………10分
即 ．
又因为，所以．…………………………12分
解得，又，∴．……………………………………14分
当时，，所以 ．…………16分