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    【题目】在平面直角坐标系xOy中已知椭圆，焦点在x轴上的椭圆与的离心率相同，且椭圆的外切矩形ABCD（两组对边分别平行于x轴、y轴）的顶点在椭圆上.

    （1）求椭圆的标准方程.

    （2）设为椭圆上一点（不与点A、B、C、D重合）.

    ①若直线：，求证：直线l与椭圆相交；

    ②记①中的直线l与椭圆C1的交点为S、T，求证的面积为定值.

    【答案】（1）（2）①证明见解析②证明见解析

    【解析】

    （1）由于离心率相同可设方程为.代入矩形顶点坐标可求得，得方程；

    （2）①直线方程与椭圆方程联立方程组，消元后计算，同时验证在的直线与椭圆也是相交的，证得结论；

    ②设，由弦长公式得计算出弦长，再求出到直线的距离，计算面积即可得．

    （1）依题意设椭圆的方程为.

    因为椭圆的外切矩形ABCD的四个顶点为，

    将点代入方程中，得，

    所以椭圆的标准方程为.

    （2）①联立，消去y得

    .

    因为为椭圆上一点，

    所以

    从而，

    则.

    特别地，当时，，

    此时直线与椭圆也相交，

    所以直线与椭圆相交.

    ②设

    由①，

    知

    ，从而

    又因为点到直线的距离

    ，

    所以，

    所以的面积为定值.

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    潜伏期（单位：天）

    人数

    （1）求这1000名患者的潜伏期的样本平均数x (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) ；

    （2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表.请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；

    潜伏期天

    潜伏期天

    总计

    岁以上（含岁）

    岁以下

    总计

    （3）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立，为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能（即概率最大）是多少？

    附：

    ，其中.

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    【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的准线方程为．

    （1）求p的值；

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    （1）在所给的坐标纸上作出函数的图像（不要求写出作图过程）；

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    【题目】已知函数．

    （1）求的单调区间；

    （2）若曲线与直线有且只有一个公共点，求证：．（参考数据：）

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