Question

已知平面内的一个动点P到直线l：x=

4 3

3

的距离与到定点F(

3

，0)的距离之比为

2 3

3

，设动点P的轨迹为C，点A(1，

1

2

)
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）若M为轨迹C上的动点，求线段MA中点N的轨迹方程；
（3）过原点O的直线交轨迹为C于B，C，求△ABC面积最大值．

Answer 1

分析：（1）设P（x，y），由题意

| 4 3 3 -x|

(x- 3 )2+y2

=

2 3

3

，由此能求出动点P的轨迹C的方程．
（2）设M（x_°，y_°），N（x，y），由题意得：

x= 1+x° 2 y= 1 2 +y° 2

解得

x°=2x-1 y°=2y- 1 2

，代入x²+4y²=4得到线段MA中点N的轨迹方程．
（3）若BC斜率不存在时，△ABC面积为1．设BC斜率为k，则BC的方程为y=kx，A到BC的距离为d=

|k- 1 2 |

1+k2

，由

y=kx x2+4y2=4

消去y得x2=

4

1+4k2

，所以|BC|=

1+k2

4

1+4k2

，由此能求出△ABC面积最大值．

解答：解：（1）设P（x，y），
由题意

| 4 3 3 -x|

(x- 3 )2+y2

=

2 3

3

，
化简得x²+4y²=4．
（2）设M（x_°，y_°），N（x，y），
由题意得：

x= 1+x° 2 y= 1 2 +y° 2

，
解得

x°=2x-1 y°=2y- 1 2

代入x²+4y²=4，
得(2x-1)2+4(2y-

1

2

)2=4
即(x-

1

2

)2+4(y-

1

4

)2=1
（3）若BC斜率不存在时，△ABC面积为1．
设BC斜率为k，则BC的方程为y=kx，A到BC的距离为d=

|k- 1 2 |

1+k2

由

y=kx x2+4y2=4

消去y得x2=

4

1+4k2

，
所以|BC|=

1+k2

4

1+4k2

S△ABC=

1

2

|BC|d=

1

2

4 1+k2

1+4k2

|k- 1 2 |

1+k2

=2

|k- 1 2 |

1+4k2

=2

(k- 1 2 )2 1+4k2

≥

2

，
∴S的最大值为

2

．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．