Question

【题目】如图，在锐角△ABC中，AB=AC，∠ACB的平分线与AB交于点D，过△ABC的外心O作CD的垂线与AC交于点E，过E作AB的平行线与CD交于点F。证明：

（1）C、E、0、F四点共圆；

（2）A、0、F三点共线；

（3）EA=EF。

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析

【解析】

（1）如图，联结0C、0A、OF.因为AB=AC，0为△ABC的外心，所以，0A平分∠BAC，OA =0C.

则.

由OE⊥CD，CD平分∠ACB，知∠OEC=90°-∠ECD.

则.

又由EF//AD，CD平分∠ACB，知∠CFE=∠CDA=∠ABC+∠DCB=.

故∠CFE=∠EOC.

因此，C、E、0、F四点共圆.

（2）由0为△ABC的外心，知∠AOC=2∠B.

因为C、E、O、F四点共圆，所以，∠FOC=∠FEC=∠BAC.

故∠FOC+∠AOC=∠BAC+2∠B=180°.

因此，A、O、F三点共线.

（3）由C、E、0、F四点共圆知∠0FE=∠OCE=∠OAC.

从而，EA=EF.