【题目】设函数.
(1)求函数的单调递减区间;
(2)若,对于给定实数,总存在实数,使得关于的方程恰有3个不同的实数根.
(i)求实数的取值范围;
(ii)记,求证:.
【答案】(1)单调递减区间是,;(2)(i);(ii)证明见详解.
【解析】
(1)当,,当时,可知,此时无单调递减区间;当时,令,可得,再根据为偶函数,即可求出函数 的单调递减区间;
(2)(i),令,则,令,利用导数可得;再分别对和,两种情况分类讨论,根据函数的单调性和奇偶性以及对称性进行分析,即可求出结果;
(ii)由的四个根为,,,,不妨设,由于为偶函数,则,化简整理可得,令,,令,根据导数在函数单调性和最值的应用,即可求证结果.
(1)当,,当,;当,,∴.
又为偶函数,∴当时,的单调递减区间是,,
当时,无单调递减区间.
(2)(i)
,令,
则,
令,,
∴在递减,递增,递减,递增.
.
①当时,可得,此时,所以在递减,在递增,则至多2个零点,不符合题意.
②当,则有4个不同实根,即时,有2个不同实根,此时.
其中,(极大),,设的4个实根为,则极大,极小,极大,极小,由于为奇函数,所以极值关于原点对称,,
,∴,当时有3个零点.
(ii)由的四个根为,,,,不妨设,由于为偶函数,则,,
∴,
令,,
令,,所以单调递增,
,所以,单调递增,则,
所以,.
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【题目】“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称,旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系,共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2013年以来,“一带一路”建设成果显著.下图是2013-2017年,我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图.下列描述错误的是( )
A.这五年,2013年出口额最少
B.这五年,出口总额比进口总额多
C.这五年,出口增速前四年逐年下降
D.这五年,2017年进口增速最快
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【题目】如图,已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F(0,1),过F的两条动直线AB,CD与抛物线交出A、B、C、D四点,直线AB,CD的斜率存在且分别是k1(k1>0),k2.
(Ⅰ)若直线BD过点(0,3),求直线AC与y轴的交点坐标
(Ⅱ)若k1﹣k2=2,求四边形ACBD面积的最小值.
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【题目】空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数,AQI指数值越小,表明空气质量越好,其对应关系如下表:
AQI指数值 | 0~50 | 51~100 | 101~150 | 151~200 | 201~300 | >300 |
空气质量 | 优 | 良 | 轻度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 严重污染 |
下图是某市10月1日—20日AQI指数变化趋势:
下列叙述错误的是
A. 这20天中AQI指数值的中位数略高于100
B. 这20天中的中度污染及以上的天数占
C. 该市10月的前半个月的空气质量越来越好
D. 总体来说,该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好
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【题目】某区在2019年教师招聘考试中,参加、、、四个岗位的应聘人数、录用人数和录用比例(精确到1%)如下:
岗位 | 男性应聘人数 | 男性录用人数 | 男性录用比例 | 女性应聘人数 | 女性录用人数 | 女性录用比例 |
269 | 167 | 62% | 40 | 24 | 60% | |
217 | 69 | 32% | 386 | 121 | 31% | |
44 | 26 | 59% | 38 | 22 | 58% | |
3 | 2 | 67% | 3 | 2 | 67% | |
总计 | 533 | 264 | 50% | 467 | 169 | 36% |
(1)从表中所有应聘人员中随机抽取1人,试估计此人被录用的概率;
(2)将应聘岗位的男性教师记为,女性教师记为,现从应聘岗位的6人中随机抽取2人.
(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;
(ii)设为事件“抽取的2人性别不同”,求事件发生的概率.
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