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【题目】设函数.

1)求函数的单调递减区间;

2)若,对于给定实数,总存在实数,使得关于的方程恰有3个不同的实数根.

i)求实数的取值范围;

ii)记,求证:.

【答案】1)单调递减区间是;(2)(i;(ii)证明见详解.

【解析】

1)当,当时,可知,此时无单调递减区间;当时,令,可得,再根据为偶函数,即可求出函数 的单调递减区间;

2)(i,令,则,令,利用导数可得;再分别对,两种情况分类讨论,根据函数的单调性和奇偶性以及对称性进行分析,即可求出结果;

ii)由的四个根为,不妨设,由于为偶函数,则化简整理可得,令,令,根据导数在函数单调性和最值的应用,即可求证结果.

1)当,当;当,∴.

为偶函数,∴当时,的单调递减区间是

时,无单调递减区间.

2)(i

,令

递减,递增,递减,递增.

.

①当时,可得,此时,所以递减,在递增,则至多2个零点,不符合题意.

②当,则4个不同实根,即时,2个不同实根,此时.

其中(极大),,设4个实根为,则极大,极小,极大,极小,由于为奇函数,所以极值关于原点对称,

,∴,当3个零点.

ii)由的四个根为,不妨设,由于为偶函数,则

,所以单调递增,

,所以单调递增,则

所以.

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101~150

151~200

201~300

>300

空气质量

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中度污染

重度污染

严重污染

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岗位

男性应聘人数

男性录用人数

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女性应聘人数

女性录用人数

女性录用比例

269

167

62%

40

24

60%

217

69

32%

386

121

31%

44

26

59%

38

22

58%

3

2

67%

3

2

67%

总计

533

264

50%

467

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