Question

8．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R），f（-2）=f（0）=0，f（x）的最小值为-1．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设g（x）=f（-x）-λf（x）+1，若g（x）在[-1，1]上是减函数，求实数λ的取值范围；
（3）设函数h（x）=f（x）-2x，是否存在非负实数m，n，使得函数h（x）的定义域为[m，n]，值域为[2m，2n]，若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先设出函数的表达式，根据f（-1）=-1，求出a的值即可；
（2）先求出g（x）的表达式，通过讨论λ的范围，结合函数的单调性，从而求出λ的范围；
（3）判断得出h（x）在区间[m，n]上单调递增，得到方程组解出即可．

解答 解：（1）设f（x）=ax（x+2），
又a＞0，f（-1）=-1，
∴a=1，∴f（x）=x²+2x．
（2）g（x）=x²-2x-λx²-2λx+1=（1-λ）x²-2（1+λ）x+1，
①当λ=1时，g（x）=-4x+1在[-1，1]上是减函数，
∴λ=1符合题意．
②当λ≠1时，对称轴方程为：$x=\frac{1+λ}{1-λ}$．
ⅰ）当λ＜1时，1-λ＞0，所以$\frac{1+λ}{1-λ}≥1?1+λ≤1-λ$，得0≤λ＜1；
ⅱ）当λ＞1时，1-λ＜0$\frac{1+λ}{1-λ}≤-1$，所以$\frac{1+λ}{1-λ}≤-1?1+λ≥-1+λ$，得λ＞1．
综上，λ≥0．
（3）∵函数h（x）=f（x）-2x=x²+2x-2x=x²，
∴对称轴x=0，[0，+∞）单调递增，（-∞，0）单调递减，
假设存在实数m，n（m＜n），使函数f（x）在[m，n]上的值域是[2m，2n]，
则f（x）在区间[m，n]上单调递增，
故有$\left\{\begin{array}{l}{0≤m＜n}\\{f（m）{=m}^{2}=2m}\\{f（n）{=n}^{2}=2n}\end{array}\right.$，解得：m=0，n=2，
故存在m=0、n=2，满足条件的m，n的值存在．

点评 本题考查了二次函数的性质，函数的单调性问题，求二次函数在闭区间上的最值，属于中档题．