Question

如图已知在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，AC=BC，M、N、P、Q分别是AA₁、BB₁、AB、B₁C₁的中点．
（1）求证：面PCC₁⊥面MNQ；
（2）求证：PC₁∥面MNQ；
（3）若AA1=AB=

2

AC=

2

a，求三棱锥P-MNQ的体积．

Answer 1

分析：（1）欲证面PCC₁⊥面MNQ，只需证MN⊥面PCC₁，而MN∥AB，易证AB⊥面PCC₁，根据两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与面垂直；
（2）连PB₁与MN相交于K，连KQ，易证PC₁∥KQ，而而KQ?平面MNQ，PC₁?平面MNQ，根据线面平行的判定定理很快得证；
（3）Q到平面AA₁B₁B的距离h等于CP的一半，要求三棱锥P-MNQ的体积，可转化成求三棱锥Q-PMN的体积．

解答：证明：（1）∵AC=BC，P是AB的中点，∴AB⊥PC，
∵AA₁⊥面ABC，CC₁∥AA₁，
∴CC₁⊥面ABC而AB在平面ABC内
∴CC₁⊥AB，∵CC₁∩PC=C∴AB⊥面PCC₁；
又∵M、N分别是AA₁、BB₁的中点，
四边形AA₁B₁B是平行四边形，MN∥AB，
∴MN⊥面PCC₁∵MN在平面MNQ内，
∴面PCC₁⊥面MNQ；（5分）
（2）连PB₁与MN相交于K，连KQ，
∵MN∥PB，N为BB₁的中点，∴K为PB₁的中点．
又∵Q是C₁B₁的中点∴PC₁∥KQ，
而KQ?平面MNQ，PC₁?平面MNQ
∴PC₁∥面MNQ．（10分）
（3）∵Q为B₁C₁的中点，∴Q到平面AA₁B₁B的距离h等于CP的一半，故h=

2

4

a，
所以VP-MNQ=VQ-PMN=

1

3

S△PMN•h=

1

3

•

1

2

•

2

a•

2

2

a•

2

4

a=

2

24

a3．（14分）

点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．