Question

对于实数a，b，定义运算“*”：a*b=

a2-ab，a≤b b2-ab，a＞b

，设f（x）=（2x-1）*（x-1），且函数F（x）=f（x）-m（m∈R）恰有三个零点，x₁，x₂，x₃，则x₁+x₂+x₃的取值范围是

(

5- 3

4

，1)

．

Answer 1

分析：由已知正确得出函数解析式画出图象并求出m的取值范围，解出方程的三个零点，进而根据m的取值范围求出即可．

解答：解：由f（x）=（2x-1）*（x-1）=

2(x- 1 4 )2- 1 8 ，当x≤0时 -(x- 1 2 )2+ 1 4 ，当x＞0时

，
画出函数y=f（x）与y=m的图象：
∵函数F（x）=f（x）-m（m∈R）恰有三个零点，
∴0＜m＜

1

4

．
不妨设x₁＜x₂＜x₃，
则x₁是方程2x²-x=m的小于0的实数根，
∴x1=

1- 1+8m

4

；
x₂，x₃是方程-x²+x=m的两个实数根，
∴x₂+x₃=1．
∴x₁+x₂+x₃=

5- 1+8m

4

．
∵0＜m＜

1

4

，∴1＜

1+8m

＜

3

，
∴

5- 3

4

＜

5- 1+8m

4

＜1．
∴x₁+x₂+x₃的取值范围是(

5- 3

4

，1)．
故答案为(

5- 3

4

，1)．

点评：熟练画出函数的图象和掌握函数零点的求法是解题的关键．