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设f(x)=(k+1)x2-(2k+1)x+1,x∈R,若x∈(1,3),f(2x-x)>0恒成立,求k的取值范围.
考点:函数恒成立问题
专题:函数的性质及应用,不等式的解法及应用
分析:令t=2x-x,可求1<t<5,原命题等价于等价于1<t<5时,f(t)>0恒成立;即(k+1)t2-(2k+1)t+1>0恒成立,再分三种情况讨论二次函数得出结论.
解答: 解:令t=2x-x,
t′=2xln2-1,∵x>1,∴2x>2,∴2xln2-1>2ln2-1=ln
4
e
>ln1=0

∴x∈(1,3)时,t′>0,∴t=2x-x在x∈(1,3)上递增,∴1<t<5,
故x∈(1,3),f(2x-x)>0恒成立,等价于1<t<5时,f(t)>0恒成立;即(k+1)t2-(2k+1)t+1>0恒成立,
当k+1=0时,即k=-1时,不等式变为t+1>0,故1<t<5时,f(t)>0恒成立;∴k=-1满足要求;
当k+1≠0时,令g(t)=(k+1)t2-(2k+1)t+1,对称轴为x=1-
1
2(k+1)

①当k+1>0即k>-1时,抛物线开口向上,对称轴x=1-
1
2(k+1)
<1,故函数在(1,5)递增,只要g(1)>0即可,
∴(k+1)-(2k+1)+1>0,∴k<1,
此时k的范围为-1<k<1;
②当k+1<0即k<-1时,抛物线开口向下,对称轴x=1-
1
2(k+1)
>1,又函数恒过(0,1),如图:

只要g(5)>0,∴(k+1)52-5(2k+1)+1>0,∴k>-
7
5

此时k的范围为-
7
5
<k<-1;
综上,k的范围为{k|-
7
5
<k<1
}
点评:本题主要考查函数与不等式之间的关系,综合性较强,属于较难的题目.
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π
2
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3
2
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3
2
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3
2
,-
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1
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