Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的焦距为2，且经过点，过左焦点且不与轴重合的直线与椭圆交于点，两点.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线，，的斜率之和为0，求直线的方程；

（3）设弦的垂直平分线分别与直线，椭圆的右准线交于点，，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）根据已知求出的值，即得椭圆的的方程；（2）设直线：，，联立直线和椭圆的方程得到韦达定理，根据直线，，的斜率之和为0，求出，即得直线的方程；（3）直线的斜率不存在时，；直线的斜率存在时，求出.即得解.

（1）因为椭圆的焦距为2，所以椭圆的焦点为，

所以点到焦点，的距离分别为，，

故，得．

所以，椭圆的方程为．

（2）依题意，左焦点，设直线：，，，．

联立方程组整理得，

所以，．

因为直线，，的斜率之和为0，所以，

即，整理得，

即，解得．

所以直线的方程为．

（3）若直线的斜率不存在，；

若直线的斜率存在，由（2）可得

，

又，直线的斜率为，，

所以．

故，

令，则，

故

当时，，，

所以．

显然，，

所以的最小值为2．