Question

如图，已知直线

l

1

：y=2x+m(m＜0)与抛物线C1：y=ax2(a＞0)和圆C2：x2+(y+1)2=5都相切，F是C₁的焦点．
（1）求m与a的值；
（2）设A是C₁上的一动点，以A为切点作抛物线C₁的切线，直线交y轴于点B，以FA，FB为邻边作平行四边形FAMB，证明：点M在一条定直线上；
（3）在（2）的条件下，记点M所在的定直线为l₂，直线l₂与y轴交点为N，连接MF交抛物线C₁于P，Q两点，求△NPQ的面积S的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用圆心到直线的距离等于半径求出m，再利用导函数与切线的关系求出a的值即可；
（2）先求出以A为切点的切线l的方程以及点A，B的表达式，再利用以FA，FB为邻边作平行四边形FAMB，结合向量运算即可求出点M所在的定直线；
（3）设直线MF的方程代入抛物线方程，结合根与系数的关系及三角形面积公式得出面积的表达式，从而可求△NPQ的面积S的取值范围．

解答：（1）解：由已知，圆C₂：x²+（y+1）²=5的圆心为C₂（0，-1），半径为

5

由题设圆心到直线l₁：y=2x+m的距离d=

|1+m|

5

=

5

，解得m=-6（m=4舍去）．
设l₁与抛物线的相切点为A₀（x₀，y₀），又y′=2ax，∴2ax₀=2
∴x₀=

1

a

，y₀=

1

a

，代入直线方程得：

1

a

=

2

a

-6，∴a=

1

6

∴m=-6，a=

1

6

；
（2）证明：由（1）知抛物线C₁方程为y=

1

6

x2，焦点 F（0，

3

2

）
设 A（x₁，

1

6

x

2 1

），由（1）知以A为切点的切线l的方程为y=

1

3

x1(x-x1)+

1

6

x

2 1

令x=0，得切线l交y轴的B点坐标为（0，-

1

6

x

2 1

）
∴

FA

=（x1，

1

6

x

2 1

-

3

2

），

FB

=（0，-x1，

1

6

x

2 1

-

3

2

）
∵以FA，FB为邻边作平行四边形FAMB，
∴

FM

=

FA

+

FB

=（x₁，-3）
∵F是定点，∴点M在定直线y=-

3

2

上；
（3）解：直线MF：y=kx+

3

2

，代入y=

1

6

x2得

1

6

x2-kx-

3

2

=0
∴x₁+x₂=6k，x₁x₂=-9．
∴S_△NPQ=

1

2

|NF||x₁-x₂|=

1

2

×3×

(x1+x2)2-4x1x2

=9

1+k2

∵k≠0，∴S_△NPQ＞9，
∴NPQ的面积S的取值范围（9，+∞）．

点评：本题综合考查圆与椭圆知识，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查三角形面积的计算，属于中档题．