Question

用水清洗一堆蔬菜，据科学测定，其效果如下：用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与这次清洗前残留的农药量之比为f(x)=

1

1+x2

．
（1）因为f（0）=

1

，所以f（0）的实际意义是

B

（后一个处请选择下列之一）；
A．表示没有用水清洗时，蔬菜上的农药量；
B．表示没有用水清洗时，蔬菜上的农药量没有变化；
C．表示没有用水清洗．
（2）现用a（a＞0）单位量的水去清洗一堆蔬菜，方案一：用a单位量的水清洗一次；
方案二：把a单位量的水平均分成2份后清洗两次．试问：哪种方案比较好（即清洗后蔬菜上残留的农药量比较少）？请说明理由．
（为方便计算，可以假设清洗前蔬菜上的农药量为1，清洗后残留的农药量：方案一的记为W₁，方案二的记为W₂）．

Answer 1

分析：（1）利用函数可计算f（0）f（0）=1，表示没有用水清洗，蔬菜上的农药量并没有变化；
（2）设清洗前蔬菜上的农药量为1，用a单位量的水清洗1次后，残留的农药量为：

1

1+a2

①；用

a

2

单位量的水清洗2次后，残留的农药量为：

1

1+( a 2 )2

•

1

1+( a 2 )2

②；作差①-②比较即可．

解答：解：（1）∵f(x)=

1

1+x2

，∴f（0）=1
表示没有用水清洗时，蔬菜上的农药量没有变化
故答案为1，选B．
（2）设清洗前蔬菜上的农药量为1，那么用a单位量的水清洗1次后，残留的农药量为 W1=1×f(a)=

1

1+a2

又如果用

a

2

单位量的水清洗1次，残留的农药量为 1×f(

a

2

)=

1

1+( a 2 )2

此后再用

a

2

单位量的水清洗1次后，残留的农药量为 W2=

1

1+( a 2 )2

•f(

a

2

)=[

1

1+( a 2 )2

]2=

16

(4+a2)2

由于 W1-W2=

1

1+a2

-

16

(4+a2)2

=

a2(a2-8)

(1+a2)(4+a2)2

当 a＞2

2

时，W₁＞W₂此时，把a单位的水平均分成2份后，清洗两次，残留的农药量较少
当 a=2

2

时，W₁=W₂此时，两种清洗方式效果相同
当 0＜a＜2

2

时，W₁＜W₂，此时，用a单位量的水一次清洗残留的农药量较少

点评：本题以农药残留为素材，考查了一个自定义函数模型的实际应用，解题时要弄清题意，理解函数解析式的意义，并且在比较大小时用到作差法．