Question

如图：在四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DD₁垂直底面，且DD₁=2，底面四边形ABCD与A₁B₁C₁D₁分别为边长2和1的正方形．
（1）求直线DB₁与BC₁夹角的余弦值；
（2）求二面角A-BB₁-C的余弦值．

Answer 1

分析：（1）以D为坐标原点，以DA，DB，DC为x轴y轴z轴建立空间直角坐标系，利用

DB1

与

BC1

的夹角余弦值求直线DB₁与BC₁夹角的余弦值．
（2）直线DB是直线B₁B在平面ABCD上的射影则AC⊥DB，根据三垂线定理，有AC⊥B₁B．过点A在平面ABB₁A₁内作AM⊥B₁B于M，连接MC，MO，由△AMB≌△CMB，得CM⊥BB₁，∠AMC是二面角A-B₁B-C的一个平面角，在三角形AMC中求出此角即可

解答：解：（1）以D为坐标原点，以DA，DB，DC为x轴y轴z轴建立空间直角坐标系．如图①

则各点坐标D（0，0，0），B（2，2，0），B₁（1，1，2），C₁（0，1，2）

DB1

=（1，1，2），

BC1

=（-2．-1，2）
设

DB1

，

BC1

的夹角为θ，则cosθ=

| DB1 • BC1|

|DB1|×| BC1|

=

1

6 × 9

=

54

54

直线DB₁与BC₁夹角的余弦值为

54

54

．
（2）如图②

∵直线DB是直线B₁B在平面ABCD上的射影，AC⊥DB，
根据三垂线定理，有AC⊥B₁B．
过点A在平面ABB₁A₁内作AM⊥B₁B于M，连接MC，MO，
由△AMB≌△CMB，得CM⊥BB₁
所以，∠AMC是二面角A-B₁B-C的一个平面角．
根据勾股定理，有 A1A=

5

，C1C=

5

，B1B=

6

．
∵OM⊥B₁B，有 OM=

B1O?OB

B1B

=

2

3

，
BM=

2 3

，AM=

10 3

，CM=

10 3

．
cos∠AMC=

AM2+CM2-AC2

2AM?CM

=-

1

5

．

点评：本小题主要考查直线与直线的夹角、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，属于中档题