【题目】如图,平面ABCD,四边形ABCD是正方形,PA=AD=2,点E、F、G分别为线段PA、PD和CD的中点.
(1)求异面直线EG与BD所成角的大小;
(2)在线段CD上是否存在一点Q,使得点A到平面EFQ的距离恰为?若存在,求出线段CQ的长;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)线段CQ的长度为 .
【解析】
(1)以点A为坐标原点,射线AB,AD,AZ分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建系如图示,写出点E(0,0,1)、G(1,2,0)、B(2,0,0)、D(0,2,0),和向量 ,的坐标,利用异面直线EG与BD所成角公式求出异面直线EG与BD所成角大小即可;
(2)对于存在性问题,可先假设存在,即先假设在线段CD上存在一点Q满足条件,设点Q(x0,2,0),平面EFQ的法向量为 ,再点A到平面EFQ的距离,求出x0,若出现矛盾,则说明假设不成立,即不存在;否则存在.
解:(1)以点A为坐标原点,射线AB,AD,AZ分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系如图示,点E(0,0,1)、G(1,2,0)、B(2,0,0)、D(0,2,0),
则 ,.
设异面直线EG与BD所成角为θ,
所以异面直
线EG与BD所成角大小为 .
(2)假设在线段CD上存在一点Q满足条件,
设点Q(x0,2,0),平面EFQ的法向量为 ,
则有 得到y=0,z=xx0,取x=1,
所以 ,
则 ,
又x0>0,解得 ,
所以点 即 ,
则 .
所以在线段CD上存在一点Q满足条件,且线段CQ的长度为 .
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【题目】某篮球运动员每次在罚球线投篮投进的概率是0.8,且各次投篮的结果互不影响.
(1)假设这名运动员投篮3次,求恰有2次投进的概率(结果用分数表示);
(2)假设这名运动员投篮3次,每次投进得1分,未投进得0分;在3次投篮中,若有2次连续投进,而另外一次未投进,则额外加1分;若3次全投进,则额外加3分,记为该篮球运动员投篮3次后的总分数,求的分布列及数学期望(结果用分数表示).
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【题目】连续掷3枚硬币,观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.(与先后顺序有关)
(1)写出这个试验的样本空间及样本点的个数;
(2)写出事件“恰有两枚正面向上”的集合表示.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】中国大学先修课程,是在高中开设的具有大学水平的课程,旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练,为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备,某高中每年招收学生1000人,开设大学先修课程已有两年,共有300人参与学习先修课程,两年全校共有优等生200人,学习先修课程的优等生有50人,这两年学习先修课程的学生都参加了考试,并且都参加了某高校的自主招生考试(满分100分),结果如下表所示:
(1)填写列联表,并画出列联表的等高条形图,并通过图形判断学习先修课程与优等生是否有关系,根据列联表的独立性体验,能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系?
(2)已知今年有150名学生报名学习大学先修课程,以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率.
①在今年参与大学先修课程的学生中任取一人,求他获得某高校自主招生通过的概率;
②某班有4名学生参加了大学先修课程的学习,设获得某高校自主招生通过的人数为,求的分布列,并求今年全校参加大学先修课程的学生获得大学自主招生通过的人数.
参考数据:
参考公式: ,期中,
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,圆的参数方程为(为参数),圆与圆外切于原点,且两圆圆心的距离,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求圆和圆的极坐标方程;
(2)过点的直线、与圆异于点的交点分别为点和点,与圆异于点的交点分别为点和点,且.求四边形面积的最大值.
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【题目】选修4—4:极坐标与参数方程
在平面直角坐标系中,将曲线 (为参数) 上任意一点经过伸缩变换后得到曲线的图形.以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线.
(Ⅰ)求曲线和直线的普通方程;
(Ⅱ)点P为曲线上的任意一点,求点P到直线的距离的最大值及取得最大值时点P的坐标.
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