Question

设矩阵M是把坐标平面上的点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标保持不变的伸缩变换．
（Ⅰ）求矩阵M；
（Ⅱ）求矩阵M的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．

Answer 1

考点：几种特殊的矩阵变换

专题：矩阵和变换

分析：本题（1）根据矩阵变换的几何意义，得到该矩阵；（2）利用特征多项求出矩阵的特征值，再解相应的方程组，得到该特征值的一个特征向量，得到本题结论．

解答： 解：（Ⅰ）由条件得矩阵M=

1       0 0       2

．
（Ⅱ）因为矩阵M=

1       0 0       2

的特征多项式为f(λ)=

.

λ-1 0 0 λ-2

.

=（λ-1）（λ-2），
令f（λ）=0，解得特征值为λ₁=1，λ₂=2，
设属于特征值λ₁的矩阵M的一个特征向量为

e1

=

x y

，
则M

e1

=

x 2y

=

x y

，
解得y=0，取x=1，得

e1

=

1 0

，
同理，对于特征值λ₂，
解得x=0，取y=1，得

e2

=

0 1

，
∴

e1

=

1 0

是矩阵M属于特征值λ₁=1的一个特征向量，

e2

=

0 1

是矩阵M属于特征值λ₂=2的一个特征向量．

点评：本题考查了矩阵变换的几何意义、矩阵的特征值和特征向量，本题难度不大，属于基础题．