Question

10．已知函数f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜m的解集为（c，c+2$\sqrt{2}$）．
（1）求实数m的值；
（2）若x＞1，y＞0，x+y=m，求$\frac{1}{x-1}$+$\frac{2}{y}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据函数的值域求出a与b的关系，然后根据不等式的解集可得x²+ax+$\frac{{a}^{2}}{4}$-m=0的两个根为c，c+2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{m}$=c+2$\sqrt{2}$-c，解之即可．
（2）利用“1”的代换，即可求$\frac{1}{x-1}$+$\frac{2}{y}$的最小值．

解答 解：∵函数f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），
∴f（x）=x²+ax+b=0只有一个根，即△=a²-4b=0则b=$\frac{{a}^{2}}{4}$．
不等式f（x）＜m的解集为（c，c+2$\sqrt{2}$）．
即为x²+ax+$\frac{{a}^{2}}{4}$＜m的解集为（c，c+2$\sqrt{2}$）．
则x²+ax+$\frac{{a}^{2}}{4}$-m=0的两个根为c，c+2$\sqrt{2}$
∴2$\sqrt{m}$=c+2$\sqrt{2}$-c
∴m=2；
（2）x+y=2，∴x-1+y=1，
∴$\frac{1}{x-1}$+$\frac{2}{y}$=（$\frac{1}{x-1}$+$\frac{2}{y}$）（x-1+y）=3+$\frac{y}{x-1}$+$\frac{2（x-1）}{y}$≥3+2$\sqrt{2}$．
当且仅当$\frac{y}{x-1}$=$\frac{2（x-1）}{y}$时，$\frac{1}{x-1}$+$\frac{2}{y}$的最小值为3+2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了一元二次不等式的应用，基本不等式的运用，同时考查了分析求解的能力和计算能力，属于中档题．