Question

已知函数f（x）=

ax

x2+b

，在x=1处取得极值2．
（1）求函数f（x）的解析式
（2）m满足什么条件时，区间（m，2m+1）为函数f（x）的单调增区间；
（3）若P（x₀，y₀）为f（x）=

ax

x2+b

图象上任意一点，直线/与．f（x）的图象切于P点，不妨设直线l的斜率为对于任意的x₀∈R和对于任意的t∈[4，5]，均有k≥c（t²-2t-3）恒成立，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由函数 f(x)=

ax

x2+b

在x=1处取得极值2可得f（x）=2，f′（1）=0求出a和b确定出f（x）即可；
（2）令f′（x）＞0求出增区间得到m的不等式组求出解集即可；
（3）找出直线l的斜率k=f′（x₀），利用换元法求出k的最小值和最大值即可得到c的范围．

解答：解：（1）因 f/(x)=

a(x2+b)-ax(2x)

(x2+b)2

，
而函数 f(x)=

ax

x2+b

在x=1处取得极值2，
所以

f/(1)=0 f(1)=2

?

a(1+b)-2a=0 a 1+b =2

?

a=4 b=1

所以 f(x)=

4x

1+x2

；
（2）由（1）知 f/(x)=

4(x2+1)-8x2

(x2+1)2

=

-4(x-1)(x+1)

(1+x2)2

，如图，f（x）的单调增区间是[-1，1]
所以，

m≥-1 2m+1≤1 m＜2m+1

?-1＜m≤0
所以当m∈（-1，0]时，函数f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增．

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	o	+	0	-
f（x）	↓	极小值 -2	↑	极大值2	↓

（3）由条件知，过f（x）的图形上一点P的切线l的斜率k为：k=f/(x0)=

4(1-x02)

(1+x02)2

=4×

-1-x02+2

(1+x02)2

=4[

2

(1+x02)2

-

1

1+x02

]
令 t=

1

1+x02

，则t∈（0，1]，此时，k=8(t2-

1

2

t)=8(t-

1

4

)2-

1

2

根据二次函数 k=8(t-

1

4

)2-

1

2

的图象性质知：
当 t=

1

4

时，k_min=-

1

2

，当t=1时，k_max=4
所以，直线l的斜率k的取值范围是 [-

1

2

 ， 4 ]．
∵t∈[4，5]，均有（t²-2t-3）∈[5，12]
∴k≥-

1

2

≥（cg（t））_max，恒成立．∴c＜0，-

1

2

≥5c，
∴c≤-

1

10

．

点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力，利用导数研究函数单调性的能力，以及计算能力，解答的关键是导数工具的灵活运用．