Question

如图所示，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC=∠ACD=90°，AB=AC=AE=2ED=2a，F是BC的中点．
（1）求证：DF∥平面EAB；
（2）设动点P从F出发，沿棱BC，CD按照F→C→D的线路运动到点D，求这一运动过程中形成的三棱锥P-EAB体积的最小值．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）取AB的中点N，连接DF、NF、EN，则FN∥AC，NF=

1

2

AC，取AC的中点M，连接EM、EC，由已知得四边形EMCD为矩形，四边形ENFD是平行四边形，由此能证明DF∥平面EAB．
（2）当P在CD上时，V_P-EAB=V_E-PAB=

1

3

×AB×S△PAE≥

3

3

a3，当P在FC上时，V_P-EAB=V_E-PAB=

1

3

×DC×S△PAE≥

3

3

a3．由此能求出三棱锥P-EAB体积的最小值．

解答： （1）证明：取AB的中点N，连接DF、NF、EN，则FN∥AC，NF=

1

2

AC，
取AC的中点M，连接EM、EC，
∵AE=AC且∠EAC=60°，
∴△EAC是正三角形，∴EM⊥AC．
∴四边形EMCD为矩形，
∴ED=MC=

1

2

AC．又∵ED∥AC，
∴ED∥NF且ED=NF，
四边形ENFD是平行四边形．
∴DF∥EN，
而EN?平面EAB，DF?平面EAB，
∴DF∥平面EAB．
（2）解：过B作AC的平行线l，过C作l的垂线交l于G，连接DG，
∵ED∥AC，
∴ED∥l，l是平面EBD与平面ABC所成二面角的棱．
∵平面EAC⊥平面ABC，DC⊥AC，∴DC⊥平面ABC，
又∵l?平面ABC，∴l⊥平面DGC，∴l⊥DG，
当P在CD上时，V_P-EAB=V_E-PAB=

1

3

×AB×S△PAE
≥

1

3

×2a×

1

2

×

3

a×a=

3

3

a3，
当P在FC上时，V_P-EAB=V_E-PAB=

1

3

×DC×S△PAE
=

3

3

×

1

2

×AB×yP≥

3

3

a×

1

2

×2a×a=

3

3

a3．
∴三棱锥P-EAB体积的最小值为

3

3

a3．

点评：本题考查直线与平面的平行、线面所成角、探索性问题等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．