Question

3．已知$cosα=\frac{{\sqrt{5}}}{5}，cosβ=\frac{3}{5}$，其中α，β都是锐角．求：
（I）sin（α-β）的值；
（Ⅱ）tan（α+β）的值．

Answer 1

分析 （I）求出两个角的正弦函数值，利用两角和的正弦函数求解sin（α-β）的值；
（Ⅱ）求出两个角的正切函数值，然后求解tan（α+β）的值．

解答 解：（I）因为α，β都是锐角，所以$sinα=\sqrt{1-{{cos}^2}α}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}，sinβ=\sqrt{1-{{cos}^2}β}=\frac{4}{5}$…（2分）
所以$sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ=\frac{3}{5}×\frac{{2\sqrt{5}}}{5}-\frac{4}{5}×\frac{{\sqrt{5}}}{5}=\frac{{2\sqrt{5}}}{25}$…（5分）
（Ⅱ）$tanα=\frac{sinα}{cosα}=2，tanβ=\frac{sinβ}{cosβ}=\frac{4}{3}$，…（7分）．
tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}=-2$…（10分）

点评 本题考查两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．