Question

在数列{a_n}中，a₁=1，

an

an-1

=1-

1

n

．
（1）求a_n；
（2）设f（x）=sinx，A_n是数列{f（a_n）}前n项的和，B_n是{a_n}前n项的和，比较A_n与B_n的大小；

Answer 1

分析：（1）化简

an

an-1

=1-

1

n

，构造新的数列{na_n}，求出新数列的通项公式，进而可求出数列的通项公式．
（2）求出{f（a_n）}，利用函数思想创造新的函数g(n)=an-f(an)=

1

n

-sin

1

n

，求出在任何情况下函数都大于0，即数列{f（a_n）}得每一项都小于{a_n}的每一项，进而判断A_n与B_n的大小．

解答：解：（1）由

an

an-1

=1-

1

n

得，na_n=（n-1）a_n-1，（2分）
∴{na_n}构成以1×a₁为首项的常数数列，又1×a₁=1，故na_n=1，∴an=

1

n

．（5分）
（2）令g(n)=an-f(an)=

1

n

-sin

1

n

，
可使g(x)=

1

x

-sin

1

x

（x＞0）．
则在单位圆中，由当α∈(0，

π

2

)，sinα＜α＜tanα
∴

1

x

＞sin

1

x

（9分）
∴1-sin1＞

1

2

-sin

1

2

＞＞

1

n

-sin

1

n

＞0
∴1＞sin1  ，

1

2

＞sin

1

2

  ，

1

n

＞sin

1

n

∴A_n＜B_n．（12分）

点评：此题主要考查构造新数列及利用函数思想就绝数列的有关问题．