Question

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB=60°，对角线AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60°，则异面直线BC与PA所成角的余弦值是（　　）

• A、0
• B、

  6

  4

• C、

  1

  2

• D、

  3

  2

Answer 1

分析：以O为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系，根据几何图形的性质给出相关点的坐标，再求出向量

BC

，

PA

的坐标表示，利用向量坐标运算求异面直线所成角的余弦值．

解答：解：以O为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系，
∵PO⊥平面ABCD，∴OB为PB在平面ABCD内的射影，∴∠PBO为PB与平面ABCD所成的角，即∠PBO=60°，
又底面是边长为2的菱形，∠DAB=60°，∴BD=2，OB=1，OP=

3

，OA=

3

，
∴B（0，1，0），C（-

3

，0，0），P（0，0，

3

），A（

3

，0，0），
∴

BC

=（-

3

，-1，0），

PA

=（

3

，0，-

3

），
∴cos＜

BC

，

PA

＞=

BC • PA

| BC || PA |

=

-3

2× 3+3

=-

6

4

．
∴异面直线BC与PA所成角的余弦值是

6

4

．
故选B．

点评：本题考查了异面直线所成角的求法，本题采用了空间向量坐标运算求异面直线所成角的余弦值，另外本题也可通过作角、证角、求角解答．