Question

如图，在多面体ABC-A₁B₁C₁中，四边形ABB₁A₁是正方形，AC=AB=1，A₁C=A₁B，B₁C₁∥BC，BC．
（Ⅰ）求证：面A₁AC⊥面ABC；
（Ⅱ）求证：AB₁∥面A₁C₁C．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用线面垂直，证明面面垂直，先证明A₁A⊥面ABC，再证明面A₁AC⊥面ABC；
（Ⅱ）取BC的中点E，证明四边形CEB₁C₁为平行四边形，可得B₁E∥C₁C，从而可得B₁E∥面A₁C₁C，再证明AE∥面A₁C₁C，利用面面平行的判定，可得面B₁AE∥面A₁C₁C，从而可得AB₁∥面A₁C₁C．
解答：证明：（Ⅰ）∵四边形ABB₁A₁为正方形，∴A₁A=AB=AC=1，A₁A⊥AB
∴…（2分）
∵A₁C=A₁B，∴，∴
∴A₁A⊥AC…（4分）
∵AB∩AC=A，∴A₁A⊥面ABC
又∵A₁A?面A₁AC，∴面A₁AC⊥面ABC…（6分）
（Ⅱ）取BC的中点E，连接AE，C₁E，B₁E
∵B₁C₁∥BC，B₁C₁=，∴B₁C₁∥EC，B₁C₁=EC
∴四边形CEB₁C₁为平行四边形，∴B₁E∥C₁C
∵C₁C?面A₁C₁C，B₁E?面A₁C₁C，∴B₁E∥面A₁C₁C…（8分）
∵B₁C₁∥BC，B₁C₁=，∴B₁C₁∥BE，B₁C₁=BE
∴四边形BB₁C₁E为平行四边形，∴B₁B∥C₁E，且B₁B=C₁E
又∵ABB₁A₁是正方形，∴A₁A∥C₁E，且A₁A=C₁E
∴AEC₁A₁为平行四边形，∴AE∥A₁C₁，
∵A₁C₁?面A₁C₁C，AE?面A₁C₁C，∴AE∥面A₁C₁C…（10分）
∵AE∩B₁E=E，∴面B₁AE∥面A₁C₁C
∵AB₁?面B₁AE，∴AB₁∥面A₁C₁C…（12分）
点评：本题考查面面垂直，考查线面平行，解题的关键是掌握面面垂直的判定方法，正确运用面面平行判断线面平行，属于中档题．