Question

设函数f(x)=

1

3

x3-ax2-3a2x+1 (a＞0)．
（I）求f′（x）的表达式；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间、极大值和极小值；
（Ⅲ）若x∈[a+1，a+2]时，恒有f′（x）＞-3a，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）直接利用多项式函数的求导公式求解
（2）判定函数当x变化时，f'（x）的变化情况，f'（x）＞0求得单调增区间，f'（x）＜0求得单调减区间，f'（x）的变化情况研究出函数的极值
（3）研究x∈[a+1，a+2]时，恒有f'（x）＞-3a成立的问题，可转化成f'（x）的最小值大于-3a成立．

解答：解：（I）f'（x）=x²-2ax-3a²．（3分）
（Ⅱ）令f'（x）=x²-2ax-3a²=0，得x=-a或x=3a．（5分）
则当x变化时，f（x）与f'（x）的变化情况如下表：

可知：当x∈（-∞，-a）时，函数f（x）为增函数，当x∈（3a，+∞）时，函数f（x）也为增函数．（6分）
当x∈（-a，3a）时，函数f（x）为减函数．（7分）当x=-a时，f(x)的极大值为

5

3

a3+1；（8分）
当x=3a时，f（x）的极小值为-9a³+1．（9分）
（Ⅲ）因为f'（x）=x²-2ax-3a²的对称轴为x=a，
且其图象的开口向上，所以f'（x）在区间[a+1，a+2]上是增函数．（10分）
则在区间[a+1，a+2]上恒有f'（x）＞-3a等价于f'（x）的最小值大于-3a成立．
所以f'（a+1）=（a+1）²-2a（a+1）-3a²=-4a²+1＞-3a．（12分）
解得-

1

4

＜a＜1．又a＞0，故a的取值范围是（0，1）

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值以及恒成立问题