Question

已知三点O（0，0），A（1，0），P（x，y）且设x≥1，y≠0．
（1）如果选取一点Q，使四边形OAPQ成为一平行四边形，则Q的坐标是

 

（2）如果还要求AP的中垂线通过Q点，则x，y的关系是

 

．
（3）再进一步要求四边形OAPQ是菱形，则x=

 

时．

Answer 1

分析：（1）用向量相等坐标分别相等求出Q
（2）用向量垂直数量积为零得x，y的关系
（3）四边形OAPQ是菱形，其对角线垂直相应的向量垂直，数量积为零得x．

解答：（1）设Q的坐标是（m，n）
∵四边形OAPQ成为一平行四边形
∴

OA

=

QP

（1，0）=（x-m，y-n）
∴

1=x-m 0=y-n

∴m=x-1，n=y即Q（x-1，y）
（2）AP的中点为M(

x+1

2

，

y

2

)
∵AP的中垂线通过Q点
∴

MQ

⊥

AP

∴MQ

•

AP

=0
∴（

x-3

2

，

y

2

）•（x-1，y）=0
即x²+y²-4x+3=0
（3）∵四边形OAPQ是菱形
∴

OP

⊥

AP

∴

OP

•

AP

=0
∴（x，y）•（x-1，y）=0
∴x²+y²-x=0
又x²+y²-4x+3=0，x≥1，y≠0
解得x=1

点评：本题考查两向量垂直的充要条件在几何问题中的应用．