Question

若整数m满足不等式x-

1

2

≤m＜x+

1

2

，x∈R，则称m为x的“亲密整数”，记作{x}，即{x}=m，已知函数f（x）x-{x}．给出以下四个命题：
①函数y=f（x），x∈R是周期函数且其最小正周期为1；
②函数y=f（x），x∈R的图象关于点（k，0），k∈Z中心对称；
③函数y=f（x），x∈R在[-

1

2

，

1

2

]上单调递增；
④方程f(x)=

1

2

sin(π•x)在[-2，2]上共有7个不相等的实数根．
其中正确命题的序号是

①④

．（写出所有正确命题的序号）．

Answer 1

分析：先通过归纳得出：{x}=m表示对x进行四舍五入后的整数，再在同一坐标系里作出函数f（x）=x-{x}和y=

1

2

sin(π•x)，x结合图象讨论四个命题的正确与否，由此可得本题的正确答案．

解答：解：当-

1

2

＜x≤

1

2

时，满足不等式x-

1

2

≤m＜x+

1

2

，x∈R的“亲密整数”m=0，
当

1

2

＜x≤

3

2

时，满足不等式x-

1

2

≤m＜x+

1

2

，x∈R的“亲密整数”m=1，…，
归纳得出：{x}=m表示对x进行四舍五入后的整数，
从而作出函数f（x）=x-{x}的图象，是一些左开右闭的线段组成．如图，

由图象可得：
①函数y=f（x），x∈R是周期函数且其最小正周期为1；正确；
②函数y=f（x），x∈R的图象不关于点（k，0），k∈Z中心对称；不正确；
③函数y=f（x），x∈R在[-

1

2

，

1

2

]上不是单调递增，因f（-

1

2

）=1，f（

1

2

）=1；故③错误；
④方程f(x)=

1

2

sin(π•x)在[-2，2]上共有7个不相等的实数根，正确．
其中正确命题的序号是 ①④．
故答案为：①④．

点评：本题以三角函数和新定义的函数为例，考查了函数的周期性、单调性、对称性、函数零点与方程根的个数的讨论等知识点，属于中档题．采用数形结合法，是解决本题的关键．