Question

【题目】已知函数f（x）=x+ ，且函数y=f（x）的图像经过点（1，2）．
（1）求m的值；
（2）判断函数的奇偶性并加以证明；
（3）证明：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数．

Answer 1

【答案】
（1）解：由函数f（x）=x+ 的图像过点（1，2），

得2=1+ ，

解得m=1

（2）解：由（1）知，f（x）=x+ ，

定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）具有对称性，

且f（﹣x）=﹣x+ =﹣（x+ ）=﹣f（x），

所以f（x）为奇函数

（3）证明：设1＜x1＜x2，则

f（x1）﹣f（x2）= = ，

∵x1﹣x2＜0，x1x2﹣1＞0，x1x2＞0，

∴f（x1）＜f（x2），

∴函数y=f（x）在（1，+∞）上为增函数

【解析】（1）由函数f（x）图像过点（1，2），代入解析式求出m的值；（2）利用奇偶性的定义判断f（x）为定义域上的奇函数；（3）利用单调性的定义可证明f（x）在（1，+∞）上为增函数．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数单调性的判断方法(单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较)，还要掌握函数的奇偶性(偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称)的相关知识才是答题的关键．