Question

4．若正实数x，y满足x+y=1，则$\frac{1}{3x+2}$+$\frac{4}{3y+2}$的最小值为$\frac{9}{7}$．

Answer 1

分析 由乘1法，可得$\frac{1}{3x+2}$+$\frac{4}{3y+2}$=$\frac{1}{7}$[（3x+2）+（3y+2）]（$\frac{1}{3x+2}$+$\frac{4}{3y+2}$），展开后，运用基本不等式，即可得到最小值，求得等号成立的条件．

解答 解：由x+y=1，x，y＞0，
可得$\frac{1}{3x+2}$+$\frac{4}{3y+2}$=$\frac{1}{7}$[（3x+2）+（3y+2）]（$\frac{1}{3x+2}$+$\frac{4}{3y+2}$）
=$\frac{1}{7}$[5+$\frac{3y+2}{3x+2}$+$\frac{4（3x+2）}{3y+2}$]
≥$\frac{1}{7}$[5+2$\sqrt{\frac{3y+2}{3x+2}•\frac{4（3x+2）}{3y+2}}$]=$\frac{9}{7}$．
当且仅当3y+2=2（3x+2），又x+y=1，
可得x=$\frac{1}{9}$，y=$\frac{8}{9}$时，取得最小值$\frac{9}{7}$．
故答案为：$\frac{9}{7}$．

点评 本题考查基本不等式的运用：求最值，注意运用乘1法，以及基本不等式满足的条件：一正二定三等，属于中档题．