精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
1.如图示,边长为4的正方形ABCD与正三角形ADP所在平面互相垂直,M、Q分别是PC,AD的中点.
(1)求证:PA∥面BDM
(2)求多面体P-ABCD的体积
(3)试问:在线段AB上是否存在一点N,使面PCN⊥面PQB?若存在,指出N的位置,若不存在,请说明理由.

分析 (1)连接AC交BD于点O,连接MO,由正方形ABCD知O为AC的中点,由M为PC的中点,知MO∥PA,由此能够证明PA∥平面MBD
(2)利用棱锥的体积公式,可得结论.
(3)存在点N,当N为AB中点时,平面PQB⊥平面PNC.由四边形ABCD是正方形,Q为AD的中点,知BQ⊥NC,由此能够证明平面PCN⊥平面PQB.

解答 (1)证明:连接AC交BD于点O,连接MO,
由正方形ABCD知O为AC的中点,
∵M为PC的中点,
∴MO∥PA,
∵MO?平面MBD,PA?平面MBD,
∴PA∥平面MBD
(2)解:多面体P-ABCD的体积=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×4×2\sqrt{3}$=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$;
(3)解:存在点N,当N为AB中点时,平面PQB⊥平面PNC,
∵四边形ABCD是正方形,Q为AD的中点,∴BQ⊥NC.
由(1)知,PQ⊥平面ABCD,NC?平面ABCD,∴PQ⊥NC,
又BQ∩PQ=Q,∴NC⊥平面PQB,
∵NC?平面PCN,
∴平面PCN⊥平面PQB.

点评 本题考查直线与平面平行的证明,考查四棱锥体积的求法,考查平面与平面垂直的证明,属于中档题.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

11.计算下列各式:
(1)(2$\frac{7}{9}$)0.5+0.1-2+(2$\frac{10}{27}$)${\;}^{-\frac{2}{3}}$+$\frac{37}{48}$
(2)(a-2b-3)(-4a-1b)÷(12a-4b-2c)

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

12.斜率为1的动直线L与椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$交于P,Q两点,M是L上的点,且满足|MP|•|MQ|=2,求点M的轨迹方程.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

9.已知向量$\vec a$,$\vec b$的夹角为$\frac{π}{3}$,且$\vec a•(\vec a-\vec b)=1$,$|\vec a|=2$,则$|\vec b|$=3.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

16.已知函数$f(x)={x^3}-{x^2}+({2\sqrt{2}-3})x+3-2\sqrt{2}$,f(x)与x轴依次交于点A、B、C,点P为f(x)图象上的动点,分别以A、B、C,P为切点作函数f(x)图象的切线.
(1)点P处切线斜率最小值为2$\sqrt{2}$-$\frac{10}{3}$
(2)点A、B、C处切线斜率倒数和为0.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

6.已知函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x,x>0}\\{f(x+6),x≤0}\end{array}\right.$,则f(-8)的值是(  )
A.-2B.2C.0D.1

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

13.已知4a=9b=k,且$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$=2,则k的值为6.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

10.设a=sin$\frac{13π}{5}$,$b=cos(-\frac{2π}{5})$,c=tan$\frac{7π}{5}$,则(  )
A.b<a<cB.b<c<aC.a<b<cD.a<c<b

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

11.如图,某农户计划在自家后院,背靠院墙用篱笆围出一块约8m2的矩形空地用来养鸡,所需篱笆总长度最小为8m.

查看答案和解析>>

同步练习册答案